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2021-2022学年山东省聊城市冠县九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年山东省聊城市冠县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省聊城市冠县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列关于“圆”的说法不正确的是（ ）
A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦
C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴
2．（3分）已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
3．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
4．（3分）如图所示，A，B，C，D均在正方形网格中的格点上，∠BAD，∠CAD分别用α和β表示，下列四个选项中正确的是（ ）
A．sinα＝cosα B．sinα＝tanα C．sinβ＝cosβ D．sinβ＝tanβ
5．（3分）已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的面积是（ ）
A．9π B．16π C．25π D．64π
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠B＝∠DAC＝30°，BD＝2，则AC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
7．（3分）如图，PA与⊙O相切于点A，线段PO交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交PA于点B．若PC＝4，AB＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
8．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（ ）
A．15 B．10 C．7.5 D．5
9．（3分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，点B，C的对应点分别为点D，E，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．π﹣
10．（3分）如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为35°D处测得塔顶H的仰角为45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m，高CD为2.8m，则塔顶端H到地面的高度HG为（ ）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°0.82，tan35°＝0.70，＝1.41）
A．10.8m B．14m C．16.8m D．29.8m
11．（3分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达•芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题．如图所示称为达•芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为A，B，C，D，所在圆的圆心为点A（或C）．若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C．π﹣1 D．4﹣
12．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13．（3分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂足上升100m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为 m．
14．（3分）若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是 ．
15．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为 （结果保留π）．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分.解答要写出必要的文字说明或推理步骤
18．（6分）（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cos45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度数．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点B2的坐标为（2，﹣2）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是 ．
20．（8分）如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD＝20m，CE＝40m，AD＝100m，BE＝20m，DE＝45m，求A、B两地间的距离．
21．（7分）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．
22．（10分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝CD，连接BE与AC，AD，FE分别交于点O，F．
（1）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
（2）求证OB2＝OE•OF．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
24．（10分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．
25．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
2021-2022学年山东省聊城市冠县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列关于“圆”的说法不正确的是（ ）
A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦
C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系；圆的性质及垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、圆是中心对称图形，圆心就是对称中心，故本选项正确；
B、垂直于弦的直径一定平分这条弦符合垂径定理，故本选项正确；
C、只有在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等，故本小题错误；
D、圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴，故本选项正确．
故选：C．
2．（3分）已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【解答】解：∵sinα＝cos60°＝，
∴α＝30°．
故选：A．
3．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．
【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．
故选：D．
4．（3分）如图所示，A，B，C，D均在正方形网格中的格点上，∠BAD，∠CAD分别用α和β表示，下列四个选项中正确的是（ ）
A．sinα＝cosα B．sinα＝tanα C．sinβ＝cosβ D．sinβ＝tanβ
【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出sinα，cosα，tanα，sinβ，cosβ，tanβ的值，进而可得出sinβ＝cosβ．
【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝1，AD＝2，
∴AB＝＝，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝；
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝2，
∴AC＝＝2，
∴sinβ＝＝，cosβ＝＝，tanβ＝＝1．
∴sinβ＝cosβ．
故选：C．
5．（3分）已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的面积是（ ）
A．9π B．16π C．25π D．64π
【分析】根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA＝5，即可解决问题．
【解答】解：如图所示：
由题意得：OE⊥AB，OE＝3，
∴AE＝AB＝4．
在Rt△AOE中，AE＝4，OE＝3，
根据勾股定理得到OA＝＝5，
则⊙O的面积＝π×52＝25π，
故选：C．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠B＝∠DAC＝30°，BD＝2，则AC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】先由含30°角的直角三角形的性质得BC＝AC，AC＝CD，则BC＝3CD，再由BC＝BD+CD＝2+CD，得3CD＝2+CD，解得CD＝1，即可得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝∠DAC＝30°，
∴BC＝AC，AC＝CD，
∴BC＝3CD，
∵BC＝BD+CD＝2+CD，
∴3CD＝2+CD，
解得：CD＝1，
∴AC＝，
故选：A．
7．（3分）如图，PA与⊙O相切于点A，线段PO交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交PA于点B．若PC＝4，AB＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
【分析】根据切线长定理得到BC＝BA，根据勾股定理求出PB，根据切线的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：设⊙O的半径为r，
由切线长定理得，BC＝BA＝3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠BCP＝90°，
∴PB＝＝5，
∴AP＝PB+AB＝8，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴AP2+OA2＝OP2，即82+r2＝（4+r）2，
解得，r＝6，
故选：C．
8．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（ ）
A．15 B．10 C．7.5 D．5
【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．
【解答】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵AC＝2AD，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积＝×15＝5，
故选：D．
9．（3分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，点B，C的对应点分别为点D，E，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．π﹣
【分析】连接BD，根据旋转的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到∠ABD＝60°，根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接BD，
由题意得，AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴阴影部分的面积＝﹣（﹣×2×2×）
＝π+，
故选：A．
10．（3分）如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为35°D处测得塔顶H的仰角为45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m，高CD为2.8m，则塔顶端H到地面的高度HG为（ ）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°0.82，tan35°＝0.70，＝1.41）
A．10.8m B．14m C．16.8m D．29.8m
【分析】延长AD交HG于M，则MG＝28m，设DM＝x，根据三角函数的概念用含x的代数式表示HM，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：延长AD交HG于M，则MG＝CD＝28m，
设DM＝x，
在Rt△AHM中，HM＝（x+6）•tan35°，
在Rt△DHM中，HM＝x•tan45°＝x，
∴（x+6）•tan35°＝x，
即（x+6）•0.70＝x，
∴x＝14，
即HM＝14．
∴HG＝14+2.8＝16.8（m）．
故选：C．
11．（3分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达•芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题．如图所示称为达•芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为A，B，C，D，所在圆的圆心为点A（或C）．若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C．π﹣1 D．4﹣
【分析】分别连接AD，AB，BD，构造扇形ABD，等腰直角ABD及弓形，用扇形ABD的面积减去等腰直角ABD的面积，即得到弓形面积，再用圆的面积减去2倍弓形面积即可．
【解答】解：∵圆与正方形的各边均相切，切点分别为A，B，C，D，
∴A，B，C，D分别是正方形各边中点，
如图所示，分别连接AD，AB，BD，
则∠DAB＝90°，
∵正方形边长为2，
∴AD＝AB＝，
S扇形ABD﹣S△ABD＝﹣××＝﹣1，
∴S阴影＝S圆﹣2（﹣1）＝π×12﹣2（﹣1）＝2．
故选：B．
12．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【分析】连接AC、AF，根据等腰直角三角形的性质得到∠DAE＝45°，AE＝3，根据旋转变换的性质、弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接AC、AF，
由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴DE＝BC＝AD，
在Rt△ADE中，DE＝AD，
∴∠DAE＝45°，AE＝＝3，
∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°，
∴∠FAC＝45°，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝9，
∴的长＝＝，
故选：A．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13．（3分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂足上升100m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为 100 m．
【分析】利用题意得到∠C＝30°，AB＝100，然后根据30°的正切可计算出BC．
【解答】解：根据题意得∠C＝30°，AB＝100，
∵tanC＝，
∴BC＝＝＝100（m）．
故答案为100．
14．（3分）若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是 ．
【分析】利用相似三角形的对应边成比例列式计算即可．
【解答】解：设EC＝x，
∵AC＝8，
∴AE＝8﹣x，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
解得：x＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为 2π （结果保留π）．
【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，求出∠OBC，根据三角形内角和定理求出∠BOC＝120°，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA＝90°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴弧BC的长＝＝2π，
故答案为：2π．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为 110°
【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ABC＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠OAD＝110°，
故答案为：110°．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 ．
【分析】根据翻折变换的性质得到∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝5，根据矩形的性质得到∠EFC＝∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝5，
∴∠EFC+∠AFB＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠EFC＝∠BAF，
∵cos∠BAF＝＝，
∴cos∠EFC＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分.解答要写出必要的文字说明或推理步骤
18．（6分）（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cos45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度数．
【分析】（1）将tan60°＝，tan30°＝，sin60°＝及cos45°＝代入原式，即可求出结论；
（2）在Rt△ABC中，利用正切的定义可求出tanA的值，进而可求出∠A的度数．
【解答】解：（1）原式＝+9×﹣8×﹣2×＝﹣；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝60°．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点B2的坐标为（2，﹣2）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是 1：2 ．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用对应点的坐标变化得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用（2）中对应点变化进而得出位似比．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是：1：2．
故答案为：1：2．
20．（8分）如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD＝20m，CE＝40m，AD＝100m，BE＝20m，DE＝45m，求A、B两地间的距离．
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边成比例；
对应边成比例，且对应角相等的三角形相似．要注意方程思想的应用．
【解答】解：∵CD＝20m，CE＝40m，AD＝100m，BE＝20m，
∴AC＝CD+AD＝120m，BC＝CE+BE＝60m．
∴CE：AC＝40：120＝1：3，CD：BC＝20：60＝1：3．
∴CE：AC＝CD：BC．
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB．
∴DE：AB＝CD：BC＝1：3．
∴AB＝3DE＝135m．
∴A、B两地间的距离为135m．
21．（7分）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．
【分析】过A点作AD⊥BC于D点，把一般三角形转化为两个直角三角形，然后分别在两个直角三角形中利用三角函数，即可求出AC的长度．
【解答】解：过A点作AD⊥BC于D点，
在直角三角形ABD中，∠B＝45°，AB＝2，
∴AD＝AB•sinB＝2，
在直角三角形ADC中，∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝4．
22．（10分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝CD，连接BE与AC，AD，FE分别交于点O，F．
（1）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
（2）求证OB2＝OE•OF．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定△DEF∽△ABF，△DEF∽△CEB，从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及△DEF的面积为2，可求得答案．
（2）由AD∥BC，AB∥DC，分别判定△AOF∽△COB，△ABO∽△CEO，从而可得比例式，等量代换，再变形即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵DE＝CD，
∴＝＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴△DEF∽△ABF，
∴＝＝，
又∵S△DEF＝2，
∴S△ABF＝8；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴＝＝＝，
∴S△CBE＝9×2＝18，
∴S四边形BCDF＝S△CBE﹣S△DEF＝18﹣2＝16，
∴平行四边形ABCD的面积为：8+16＝24．
（2）证明：∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB，
∴＝，
∵AB∥DC，
∴△ABO∽△CEO，
∴＝，
∴＝，
∴OB2＝OE•OF．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）利用圆周角定以及等腰三角形的性质得出即可；
（2）首先得出∠BOE＝90°，BO＝EO＝2，∠AOE＝90°，进而求出S阴＝S△BOE+S扇形OAE的值．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OE，
∵AB＝4，∠BAC＝45°，
∴∠BOE＝90°，BO＝EO＝2，∠AOE＝90°，
∴S阴＝S△BOE+S扇形OAE＝×2×2+＝π+2．
24．（10分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．
【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，
∴DP＝OP＝灯高．
在△CEA与△COP中，
∵AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP．
∴△CEA∽△COP，
∴．
设AP＝xm，OP＝hm，则，①，
DP＝OP＝2+4+x＝h，②
联立①②两式，
解得x＝4，h＝10．
∴路灯有10m高．
25．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
【分析】（1）连接OF，BE，得到BE∥CD，根据平行线的性质得到CD⊥OF，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OF，BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，
∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∴＝，
∵BD＝2，OF＝OB＝4，
∴OD＝6，AD＝10，
∴AC＝＝＝，
∴CD＝＝＝，
∵AC∥OF，OA＝4，
∴＝，即＝，
解得：CF＝，
∴tan∠AFC＝＝＝．
2021-2022学年山东省聊城市冠县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列关于“圆”的说法不正确的是（ ）
A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦
C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴
2．（3分）已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
3．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
4．（3分）如图所示，A，B，C，D均在正方形网格中的格点上，∠BAD，∠CAD分别用α和β表示，下列四个选项中正确的是（ ）
A．sinα＝cosα B．sinα＝tanα C．sinβ＝cosβ D．sinβ＝tanβ
5．（3分）已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的面积是（ ）
A．9π B．16π C．25π D．64π
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠B＝∠DAC＝30°，BD＝2，则AC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
7．（3分）如图，PA与⊙O相切于点A，线段PO交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交PA于点B．若PC＝4，AB＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
8．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（ ）
A．15 B．10 C．7.5 D．5
9．（3分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，点B，C的对应点分别为点D，E，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．π﹣
10．（3分）如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为35°D处测得塔顶H的仰角为45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m，高CD为2.8m，则塔顶端H到地面的高度HG为（ ）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°0.82，tan35°＝0.70，＝1.41）
A．10.8m B．14m C．16.8m D．29.8m
11．（3分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达•芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题．如图所示称为达•芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为A，B，C，D，所在圆的圆心为点A（或C）．若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C．π﹣1 D．4﹣
12．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13．（3分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂足上升100m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为 m．
14．（3分）若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是 ．
15．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为 （结果保留π）．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分.解答要写出必要的文字说明或推理步骤
18．（6分）（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cos45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度数．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点B2的坐标为（2，﹣2）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是 ．
20．（8分）如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD＝20m，CE＝40m，AD＝100m，BE＝20m，DE＝45m，求A、B两地间的距离．
21．（7分）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．
22．（10分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝CD，连接BE与AC，AD，FE分别交于点O，F．
（1）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
（2）求证OB2＝OE•OF．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
24．（10分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．
25．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
2021-2022学年山东省聊城市冠县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列关于“圆”的说法不正确的是（ ）
A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦
C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系；圆的性质及垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、圆是中心对称图形，圆心就是对称中心，故本选项正确；
B、垂直于弦的直径一定平分这条弦符合垂径定理，故本选项正确；
C、只有在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等，故本小题错误；
D、圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴，故本选项正确．
故选：C．
2．（3分）已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【解答】解：∵sinα＝cos60°＝，
∴α＝30°．
故选：A．
3．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．
【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．
故选：D．
4．（3分）如图所示，A，B，C，D均在正方形网格中的格点上，∠BAD，∠CAD分别用α和β表示，下列四个选项中正确的是（ ）
A．sinα＝cosα B．sinα＝tanα C．sinβ＝cosβ D．sinβ＝tanβ
【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出sinα，cosα，tanα，sinβ，cosβ，tanβ的值，进而可得出sinβ＝cosβ．
【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝1，AD＝2，
∴AB＝＝，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝；
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝2，
∴AC＝＝2，
∴sinβ＝＝，cosβ＝＝，tanβ＝＝1．
∴sinβ＝cosβ．
故选：C．
5．（3分）已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的面积是（ ）
A．9π B．16π C．25π D．64π
【分析】根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA＝5，即可解决问题．
【解答】解：如图所示：
由题意得：OE⊥AB，OE＝3，
∴AE＝AB＝4．
在Rt△AOE中，AE＝4，OE＝3，
根据勾股定理得到OA＝＝5，
则⊙O的面积＝π×52＝25π，
故选：C．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠B＝∠DAC＝30°，BD＝2，则AC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】先由含30°角的直角三角形的性质得BC＝AC，AC＝CD，则BC＝3CD，再由BC＝BD+CD＝2+CD，得3CD＝2+CD，解得CD＝1，即可得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝∠DAC＝30°，
∴BC＝AC，AC＝CD，
∴BC＝3CD，
∵BC＝BD+CD＝2+CD，
∴3CD＝2+CD，
解得：CD＝1，
∴AC＝，
故选：A．
7．（3分）如图，PA与⊙O相切于点A，线段PO交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交PA于点B．若PC＝4，AB＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
【分析】根据切线长定理得到BC＝BA，根据勾股定理求出PB，根据切线的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：设⊙O的半径为r，
由切线长定理得，BC＝BA＝3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠BCP＝90°，
∴PB＝＝5，
∴AP＝PB+AB＝8，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴AP2+OA2＝OP2，即82+r2＝（4+r）2，
解得，r＝6，
故选：C．
8．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（ ）
A．15 B．10 C．7.5 D．5
【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．
【解答】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵AC＝2AD，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积＝×15＝5，
故选：D．
9．（3分）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，点B，C的对应点分别为点D，E，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．π﹣
【分析】连接BD，根据旋转的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到∠ABD＝60°，根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接BD，
由题意得，AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴阴影部分的面积＝﹣（﹣×2×2×）
＝π+，
故选：A．
10．（3分）如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为35°D处测得塔顶H的仰角为45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m，高CD为2.8m，则塔顶端H到地面的高度HG为（ ）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°0.82，tan35°＝0.70，＝1.41）
A．10.8m B．14m C．16.8m D．29.8m
【分析】延长AD交HG于M，则MG＝28m，设DM＝x，根据三角函数的概念用含x的代数式表示HM，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：延长AD交HG于M，则MG＝CD＝28m，
设DM＝x，
在Rt△AHM中，HM＝（x+6）•tan35°，
在Rt△DHM中，HM＝x•tan45°＝x，
∴（x+6）•tan35°＝x，
即（x+6）•0.70＝x，
∴x＝14，
即HM＝14．
∴HG＝14+2.8＝16.8（m）．
故选：C．
11．（3分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达•芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题．如图所示称为达•芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为A，B，C，D，所在圆的圆心为点A（或C）．若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C．π﹣1 D．4﹣
【分析】分别连接AD，AB，BD，构造扇形ABD，等腰直角ABD及弓形，用扇形ABD的面积减去等腰直角ABD的面积，即得到弓形面积，再用圆的面积减去2倍弓形面积即可．
【解答】解：∵圆与正方形的各边均相切，切点分别为A，B，C，D，
∴A，B，C，D分别是正方形各边中点，
如图所示，分别连接AD，AB，BD，
则∠DAB＝90°，
∵正方形边长为2，
∴AD＝AB＝，
S扇形ABD﹣S△ABD＝﹣××＝﹣1，
∴S阴影＝S圆﹣2（﹣1）＝π×12﹣2（﹣1）＝2．
故选：B．
12．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【分析】连接AC、AF，根据等腰直角三角形的性质得到∠DAE＝45°，AE＝3，根据旋转变换的性质、弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接AC、AF，
由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴DE＝BC＝AD，
在Rt△ADE中，DE＝AD，
∴∠DAE＝45°，AE＝＝3，
∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°，
∴∠FAC＝45°，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝9，
∴的长＝＝，
故选：A．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13．（3分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂足上升100m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为 100 m．
【分析】利用题意得到∠C＝30°，AB＝100，然后根据30°的正切可计算出BC．
【解答】解：根据题意得∠C＝30°，AB＝100，
∵tanC＝，
∴BC＝＝＝100（m）．
故答案为100．
14．（3分）若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是 ．
【分析】利用相似三角形的对应边成比例列式计算即可．
【解答】解：设EC＝x，
∵AC＝8，
∴AE＝8﹣x，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
解得：x＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为 2π （结果保留π）．
【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，求出∠OBC，根据三角形内角和定理求出∠BOC＝120°，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA＝90°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴弧BC的长＝＝2π，
故答案为：2π．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为 110°
【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ABC＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠OAD＝110°，
故答案为：110°．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 ．
【分析】根据翻折变换的性质得到∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝5，根据矩形的性质得到∠EFC＝∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝5，
∴∠EFC+∠AFB＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠EFC＝∠BAF，
∵cos∠BAF＝＝，
∴cos∠EFC＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共69分.解答要写出必要的文字说明或推理步骤
18．（6分）（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cos45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度数．
【分析】（1）将tan60°＝，tan30°＝，sin60°＝及cos45°＝代入原式，即可求出结论；
（2）在Rt△ABC中，利用正切的定义可求出tanA的值，进而可求出∠A的度数．
【解答】解：（1）原式＝+9×﹣8×﹣2×＝﹣；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝60°．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点B2的坐标为（2，﹣2）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是 1：2 ．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用对应点的坐标变化得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用（2）中对应点变化进而得出位似比．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是：1：2．
故答案为：1：2．
20．（8分）如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD＝20m，CE＝40m，AD＝100m，BE＝20m，DE＝45m，求A、B两地间的距离．
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边成比例；
对应边成比例，且对应角相等的三角形相似．要注意方程思想的应用．
【解答】解：∵CD＝20m，CE＝40m，AD＝100m，BE＝20m，
∴AC＝CD+AD＝120m，BC＝CE+BE＝60m．
∴CE：AC＝40：120＝1：3，CD：BC＝20：60＝1：3．
∴CE：AC＝CD：BC．
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB．
∴DE：AB＝CD：BC＝1：3．
∴AB＝3DE＝135m．
∴A、B两地间的距离为135m．
21．（7分）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．
【分析】过A点作AD⊥BC于D点，把一般三角形转化为两个直角三角形，然后分别在两个直角三角形中利用三角函数，即可求出AC的长度．
【解答】解：过A点作AD⊥BC于D点，
在直角三角形ABD中，∠B＝45°，AB＝2，
∴AD＝AB•sinB＝2，
在直角三角形ADC中，∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝4．
22．（10分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝CD，连接BE与AC，AD，FE分别交于点O，F．
（1）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
（2）求证OB2＝OE•OF．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定△DEF∽△ABF，△DEF∽△CEB，从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及△DEF的面积为2，可求得答案．
（2）由AD∥BC，AB∥DC，分别判定△AOF∽△COB，△ABO∽△CEO，从而可得比例式，等量代换，再变形即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵DE＝CD，
∴＝＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴△DEF∽△ABF，
∴＝＝，
又∵S△DEF＝2，
∴S△ABF＝8；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴＝＝＝，
∴S△CBE＝9×2＝18，
∴S四边形BCDF＝S△CBE﹣S△DEF＝18﹣2＝16，
∴平行四边形ABCD的面积为：8+16＝24．
（2）证明：∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB，
∴＝，
∵AB∥DC，
∴△ABO∽△CEO，
∴＝，
∴＝，
∴OB2＝OE•OF．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）利用圆周角定以及等腰三角形的性质得出即可；
（2）首先得出∠BOE＝90°，BO＝EO＝2，∠AOE＝90°，进而求出S阴＝S△BOE+S扇形OAE的值．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OE，
∵AB＝4，∠BAC＝45°，
∴∠BOE＝90°，BO＝EO＝2，∠AOE＝90°，
∴S阴＝S△BOE+S扇形OAE＝×2×2+＝π+2．
24．（10分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．
【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，
∴DP＝OP＝灯高．
在△CEA与△COP中，
∵AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP．
∴△CEA∽△COP，
∴．
设AP＝xm，OP＝hm，则，①，
DP＝OP＝2+4+x＝h，②
联立①②两式，
解得x＝4，h＝10．
∴路灯有10m高．
25．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
【分析】（1）连接OF，BE，得到BE∥CD，根据平行线的性质得到CD⊥OF，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OF，BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，
∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∴＝，
∵BD＝2，OF＝OB＝4，
∴OD＝6，AD＝10，
∴AC＝＝＝，
∴CD＝＝＝，
∵AC∥OF，OA＝4，
∴＝，即＝，
解得：CF＝，
∴tan∠AFC＝＝＝．
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