专题05：28. 2 解直角三角形及其应用 -期末考复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级下册

这是一份专题05：28. 2 解直角三角形及其应用 -期末考复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级下册，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题05：2022年人教新版九年级（下册）28. 2 解直角三角形及其应用 -期末考复习专题训练
一、选择题（共10小题）
1．如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为（　　）

A． B． C． D．1800米
2．已知函数y＝x+1的图象为直线l，点P（2，1），则点P到直线l的距离为（　　）
A．2 B．1 C． D．
3．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（　　）

A．5cm B．5cm C．10m D．m
4．如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（　　）

A．B地在C地的北偏西40°方向上
B．A地在B地的南偏西30°方向上
C．
D．∠ACB＝50°
5．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）

A．60+8 B．60+8 C．64 D．68
6．如图，测得一商场自动扶梯的长AB为12米，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度BC为（　　）

A．12tanα米 B．12sinα米 C．12cosα D．米
7．如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈）

A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米
8．如图，一个坡角为15°的看台横截面上有旗杆CD，在这横截面上进行测量得到以下数据：在点A和点B处测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，点A离地面高度为1米，且测得点A到点B的距离为8米，则旗杆的高度为（　　）

A．23米 B．24米 C．25米 D．26米
9．如图，一艘快艇从O港出发，向西北方向行驶到M处，然后向正东行驶到N处，再向西南方向行驶，共经过1.5小时回到O港，已知快艇的速度是每小时50海里，则M，N之间的距离是（　　）海里

A．75﹣75 B． C．75 D．50
10．如果从货船A测得小岛b在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（　　）
A．南偏西30°方向500米处
B．南偏西60°方向500米处
C．南偏西30°方向250米处
D．南偏西60°方向250米处
二、填空题（共5小题）
11．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是　 　m．

12．如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么∠APB的度数为　 　°．

13．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是　 　m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：3，则tan∠CAD＝　 　．

15．如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C，小明发现景区C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为　 　．

三、解答题（共5小题）
16．清代《修武县志》有胜果寺的记载，“康熙五十二年三月十七日，塔顶现青白二气如云，越二日乃止”，此文中的塔即为“胜果寺塔”．是修武作为“千年古县”的标志性古建筑，为了测量塔的高度，某校数学兴趣小组的两名同学采用了如下方式进行测量．如图，小明站在A处，眼睛E距离地面的高度为1.85m，测得塔顶C的仰角为45°，小红站在距离小明10m的D处，眼睛F距离地面的高度为1.5m，测得塔顶C的仰角为60°，已知A，D，塔底B在同一水平面上，由此即可求出塔高BC．你知道是怎么求的吗？请写出解题过程．（结果精确到1m．参考数据：＝1.732）

17．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子与地面的夹角为45°，梯子底端与墙的距离CB＝2米，若梯子底端C的位置不动，再将梯子斜靠在左墙，测得梯子与地面的夹角为60°，则此时梯子的顶端与地面的距离A'D的长是多少米？（结果保留根号）

18．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．

19．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6m的梯子，当梯子底端离墙面2m时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°＝0.26）？

20．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．

专题05：2022年人教新版九年级（下册）28. 2 解直角三角形及其应用 -期末考复习专题训练
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为（　　）

A． B． C． D．1800米
【解答】解：由于A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，
则AC＝＝600（米）．
故选：B．
2．已知函数y＝x+1的图象为直线l，点P（2，1），则点P到直线l的距离为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：如图，

∵直线y＝x+1，交y轴于C（0，1），交x轴于A（﹣，0），
∴OC＝1，OA＝，过点P作PD⊥AC于D，
∴tan∠CAO＝60°，
∵C（0，1），P（2，1），
∴PC＝2，PC∥OA，
∴∠DCP＝∠CAO＝60°，
∴PD＝PC•sin60°＝，
则点P到直线的距离是．
故选：C．
3．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（　　）

A．5cm B．5cm C．10m D．m
【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝30°，
∵从点B到点C上升的高度为5m，
∴电梯BC的长是10m．
故选：C．

4．如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（　　）

A．B地在C地的北偏西40°方向上
B．A地在B地的南偏西30°方向上
C．
D．∠ACB＝50°
【解答】解：如图所示，
由题意可知，∠1＝60°，∠4＝50°，
∴∠5＝∠4＝50°，即B在C处的北偏西50°，故A错误；
∵∠2＝60°，
∴∠3+∠7＝180°﹣60°＝120°，即A在B处的北偏西120°，故B错误；
∵∠1＝∠2＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴cos∠BAC＝，故C正确；
∵∠6＝90°﹣∠5＝40°，即公路AC和BC的夹角是40°，故D错误．
故选：C．

5．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）

A．60+8 B．60+8 C．64 D．68
【解答】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，
∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，
∴AE＝AC＝30（cm），
由对称性可知：BF＝AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）．
故选：D．

6．如图，测得一商场自动扶梯的长AB为12米，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度BC为（　　）

A．12tanα米 B．12sinα米 C．12cosα D．米
【解答】解：∵sinα＝，
∴BC＝sinα•AB＝12sinα，
故选：B．
7．如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈）

A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米
【解答】解：由题意可知，AB＝5米，∠DAB＝37°，∠C＝90°，∠DBC＝53°，
∵tan∠DBC＝tan53°＝，
∴，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝5+x，
在Rt△ACD中，
tan53°＝，
解得x＝8.6，
∴CD＝8.6（米），
故选：C．
8．如图，一个坡角为15°的看台横截面上有旗杆CD，在这横截面上进行测量得到以下数据：在点A和点B处测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，点A离地面高度为1米，且测得点A到点B的距离为8米，则旗杆的高度为（　　）

A．23米 B．24米 C．25米 D．26米
【解答】解：过A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，
∵∠BAC＝180°﹣15°﹣60°＝105°，∠ABC＝45°
∴∠ACB＝30°，
∵AB＝8，
∴AF＝BF＝AB＝8，
∴AC＝2AF＝16，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，
∴CE＝AC＝24，
∵DE＝1，
∴CD＝24+1＝25（米），
答：旗杆的高度为25米，
故选：C．

9．如图，一艘快艇从O港出发，向西北方向行驶到M处，然后向正东行驶到N处，再向西南方向行驶，共经过1.5小时回到O港，已知快艇的速度是每小时50海里，则M，N之间的距离是（　　）海里

A．75﹣75 B． C．75 D．50
【解答】解：如图所示：
由题意得：∠NOC＝45°，∠MOD＝45°，
∴∠MON＝90°，
∵MN∥x轴，
∴∠MNO＝∠NOC＝45°，∠NMO＝∠MOD＝45°，
∴△MON为等腰直角三角形，
∴OM＝ON＝MN，
∵OM+OM+MN＝50×1.5＝75（海里），
∴MN+MN+MN＝75，
解得：MN＝75﹣75（海里），
即M，N之间的距离是（75﹣75）海里；
故选：A．

10．如果从货船A测得小岛b在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（　　）
A．南偏西30°方向500米处
B．南偏西60°方向500米处
C．南偏西30°方向250米处
D．南偏西60°方向250米处
【解答】解：如图所示：

∵小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，
∴货船A在小岛B的南偏西30°方向500米处，
故选：A．
二、填空题（共5小题）
11．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是　6　m．

【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝3米，
∴AB＝＝6米．
故答案为：6．
12．如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么∠APB的度数为　60　°．

【解答】解：根据题意可知：
∠PAB＝90°，∠B＝30°，
∴∠APB＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60．
13．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是　0.8　m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．

【解答】解：在直角三角形中，sinA＝，
则BC＝AB•sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，
＝0.801≈0.8（m），
故答案为：0.8．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：3，则tan∠CAD＝　　．

【解答】解：过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE＝∠B，
∵sinB＝，
∴，
不妨设DE＝4x，则CD＝5x，
∴，
∵CD：AC＝1：3，
∴AC＝3CD＝15x，
∴AE＝AC+CE＝18x，
∴tan∠CAD＝，
故答案为
15．如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C，小明发现景区C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为　4千米　．

【解答】解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝8×＝4（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝4（千米），
∴BC＝BD＝4（千米）．
答：B，C两地的距离是4千米．
故答案为：4千米．

三、解答题（共5小题）
16．清代《修武县志》有胜果寺的记载，“康熙五十二年三月十七日，塔顶现青白二气如云，越二日乃止”，此文中的塔即为“胜果寺塔”．是修武作为“千年古县”的标志性古建筑，为了测量塔的高度，某校数学兴趣小组的两名同学采用了如下方式进行测量．如图，小明站在A处，眼睛E距离地面的高度为1.85m，测得塔顶C的仰角为45°，小红站在距离小明10m的D处，眼睛F距离地面的高度为1.5m，测得塔顶C的仰角为60°，已知A，D，塔底B在同一水平面上，由此即可求出塔高BC．你知道是怎么求的吗？请写出解题过程．（结果精确到1m．参考数据：＝1.732）

【解答】解：过E点作EG⊥BC于G，过F点作FH⊥BC于H，
设BC＝xm，则CG＝（x﹣1.85）m，CH＝（x﹣1.5）m，
在Rt△CHF中，FH＝＝，
Rt△CGE中，EG＝＝（x﹣1.85）m，
∵EG﹣FH＝10，
∴（x﹣1.85）﹣＝10，
解得x≈26．
故塔高BC大约26m高．

17．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子与地面的夹角为45°，梯子底端与墙的距离CB＝2米，若梯子底端C的位置不动，再将梯子斜靠在左墙，测得梯子与地面的夹角为60°，则此时梯子的顶端与地面的距离A'D的长是多少米？（结果保留根号）

【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠BCA＝45°，
∴AB＝BC＝2米，
∴米，
∴A'C＝AC＝米，
∴在Rt△A'DC中，A'D＝A'C•sin60°＝×＝，
∴此时梯子的顶端与地面的距离A'D的长是米．

18．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．

【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝90，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝90，
∴AE＝BE＝AB＝90（km），
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝30（km），
∴AC＝AE+CE＝（90+30）（km），
∴A，C两港之间的距离为（90+30）km．

19．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6m的梯子，当梯子底端离墙面2m时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°＝0.26）？

【解答】解：在Rt△ABC中，
∵cosα＝，
∴AC＝AB•cosα，
当α＝50°时，AC＝AB•cosα≈6×0.64＝3.84（m）；
当α＝75°时，AC＝AB•cosα≈6×0.26＝1.56（m）；
所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在1.56m～3.84m之间，
∵1.56＜2＜3.84
∴此时人能够安全使用这架梯子．
答：当梯子底端离墙面2m时，此时人能够安全使用这架梯子．
20．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．

【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin∠ACG＝＝＝sinB，
∴AG＝x，CG＝x，
∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，
在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，
∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．