八年级（上）期末数学试卷0

这是一份八年级（上）期末数学试卷0，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.

2. 下列关于分式的判断，正确的是( )
A.当x=2时，x+1x−2的值为零
B.无论x为何值，3x2+1的值总为正数
C.无论x为何值，3x+1不可能得整数值
D.当x≠3时，x−3x有意义

3. 分解因式m−ma2的结果是（ ）
A.m(1+a)(1−a)B.m(1+a)2
C.m(1−a)2D.(1−a)(1+a)

4. 下列运算正确的是( )
A.a6÷a2=a3B.3a2b−a2b=2
C.(−2a3)2=4a6D.(a+b)2=a2+b2

5. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，
若CD＝AC，∠B＝25∘，则∠ACB的度数为（ ）

A.105∘B.110∘C.120∘D.125∘

6. 如图，△ABC是边长为8的等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使BD＝DE，F是DE的中点，则CF＝（ ）

A.1B.2C.3D.4

7. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90∘，∠B＝α，在AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF的周长最小．此时，∠EDF＝（ ）

A.αB.90∘−αC.D.180∘−2α

8. 当x分别取−2015、−2014、−2013、…，、−2、−1、0、1、12、13、…、12013、12014、12015时，计算分式x2−1x2+1的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A.−1B.1C.0D.2015
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

分解因式：a3b−2a2b2+ab3＝________．

以下四个结论：
①一个多边形的内角和为900∘，从这个多边形同一个顶点可画的对角线有4条；
②三角形的一个外角等于两个内角的和；
③任意一个三角形的三条高所在直线的交点一定在三角形的内部；
④△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形．
其中正确的是________（填序号）

分式方程2x−3=3x的解是________．

一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．

若实数x满足x+1x=3，则x2+1x2的值=________．

计算(a−2ab−b2a)÷a−ba的结果是________．

如图所示，已知在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，△DEB的周长为8cm，则AB=________．

在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有________种．

三、解答题（共8小题，共72分）


如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值．

先化简，再求值：(2+a)(2−a)+a(a−5b)+3a5b3÷(−a2b)2，其中ab=−12．

先化简，再求值：a2−2ab+b2a2−b2+ba+b，其中a=−2，b=1．

（1）因式分解：3x−12x3；
（2）解方程：＝．

如图，△ABC≅△A′B′C′，AD为△ABC的角平分线，A′D′为△A′B′C′的角平分线．

（1）若∠C＝80∘，∠BAD＝30∘，求∠B；

（2）求证：AD＝A′D′．

在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF // AC交CE的延长线于F．
（1）求证：△ACD≅△CBF；

（2）求证：AB垂直平分DF．

某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．
（1）求该种纪念品4月份的销售价格．

（2）若4月份销售这种纪念品每件盈利20元，5月份销售这种纪念品获利多少元？

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
1如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90∘，求∠BCE；

2设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
参考答案与试题解析
2017-2018学年湖北省黄冈市麻城市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，从而可以解答题目．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2.
【答案】
B
【考点】
分式值为零的条件
分式的定义
无意义分式的条件
【解析】
分式有意义的条件是分母不等于0．
分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
【解答】
解：A，当x=2时，分母x−2=0，分式无意义，故A错误；
B，因为分母x2+1≥1，所以无论x为何值，3x2+1的值总为正数，故B正确；
C，当x+1=1或3时，3x+1的值是整数，故C错误；
D，当x=0时，分母为0，分式无意义，故D错误．
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=m(1−a2)=m(1+a)(1−a)，
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
同底数幂的除法
完全平方公式
幂的乘方与积的乘方
合并同类项
【解析】
根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方及完全平方公式，结合各选项进行判断即可．
【解答】
解：A、a6÷a2=a4，原式计算错误，故A选项错误；
B、3a2b−a2b=2a2b，原式计算错误，故B选项错误；
C、(−2a3)2=4a6，计算正确，故C选项正确；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，计算错误，故D选项错误；
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
作图—复杂作图
等腰三角形的性质
线段垂直平分线的性质
【解析】
根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，则∠DCB＝∠B＝25∘，利用三角形外角性质计算出∠CDA＝50∘，利用等腰三角形的性质得∠CAD＝∠CDA＝50∘，然后利用三角形内角和计算出∠ACD，从而得到∠ACB的度数．
【解答】
由作法得MN垂直平分BC，
∴ DB＝DC，
∴ ∠DCB＝∠B＝25∘，
∴ ∠CDA＝25∘+25∘＝50∘，
∵ CA＝CD，
∴ ∠CAD＝∠CDA＝50∘，
∴ ∠ACD＝180∘−50∘−50∘＝80∘，
∴ ∠ACB＝80∘+25∘＝105∘．
6.
【答案】
B
【考点】
等边三角形的性质
【解析】
利用等边三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝60∘，BD平分∠ABC，CD＝AD＝4，再证明∠E＝∠DBE＝30∘，则利用三角形外角性质得到∠CDE＝∠E，所以CE＝CD＝4，然后根据等腰三角形的性质得到CF⊥DE，从而利用含30度的直角三角形三边的关系得到CF的长．
【解答】
∵ △ABC是边长为8的等边三角形，BD是中线，
∴ ∠ABC＝∠ACB＝60∘，BD平分∠ABC，CD＝AD＝4，
∴ ∠DBC＝30∘，
∵ DB＝DE，
∴ ∠E＝∠DBE＝30∘，
∵ ∠DCB＝∠E+∠CDE，
∴ ∠CDE＝60∘−30∘＝30∘，
∴ ∠CDE＝∠E，
∴ CE＝CD＝4，
∵ F是DE的中点，
∴ CF⊥DE，
而∠E＝30∘，
∴ CF＝CE＝2．
7.
【答案】
D
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
根据要使△DEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出D关于AB和BC的对称点P，Q，连接PQ分别与AB、BC相交于点E、F，结合四边形的内角和即可得出答案．
【解答】
如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E，交BC于F，则点E，F即为所求．
∵ 四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90∘，∠B＝α，
∴ ∠ADC＝180∘−α，
由轴对称知，∠ADE＝∠P，∠CDF＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180∘−∠ADC
＝180∘−(180∘−α)
＝α，
∴ ∠ADE+∠CDF＝∠P+∠Q＝α，
∴ ∠EDF＝∠ADC−(∠ADE+∠CDF)
＝180∘−α−α
＝180∘−2α，
8.
【答案】
A
【考点】
分式的加减运算
【解析】
设a为负整数，将x=a代入得：a2−1a2+1，将x=−1a代入得：(−1a)2−1(1a)2+1=1−a2a2a2+1a2=1−a2a2+1，故此可知当x互为负倒数时，两分式的和为0，然后求得当x=0时，分式的值即可．
【解答】
解：设a为负整数．
∵ 当x=a时，分式的值=a2−1a2+1，当x=1a时，分式的值=(−1a)2−1(1a)2+1=a2−1a2+1，
∴ 当x=a时与当x=1a时两分式的和=a2−1a2+1+a2−1a2+1=0．
∴ 当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴ 所得结果的和=02−102+1=−1．
故选；A．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
【答案】
ab(a−b)2
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2＝(a±b)2．
【解答】
a3b−2a2b2+ab3
＝ab(a2−2ab+b2)
＝ab(a−b)2．
【答案】
④
【考点】
多边形内角与外角
三角形的角平分线、中线和高
三角形内角和定理
三角形的外角性质
【解析】
利用多边形的内角与外角、三角形的角平分线、中线和高、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质等知识分别判断后即可确定正确的答案．
【解答】
解：①一个多边形的内角和为900∘，从这个多边形同一个顶点可画的对角线有4条，错误；②三角形的一个外角等于两个内角的和，错误；
③任意一个三角形的三条高所在直线的交点一定在三角形的内部，错误；
④△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形，正确．
故答案为：④．
【答案】
x=9
【考点】
解分式方程
【解析】
观察可得最简公分母是x(x−3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】
解：方程的两边同乘x(x−3)，
得3x−9=2x，
解得x=9．
检验：把x=9代入x(x−3)=54≠0．
∴ 原方程的解为：x=9．
【答案】
6
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：∵ 多边形的外角和是360度，
多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴ 这个多边形是六边形．
故答案为：6.
【答案】
7
【考点】
完全平方公式
【解析】
先根据完全平方公式变形得到x2+1x2=(x+1x)2−2，然后把满足x+1x=3代入计算即可．
【解答】
解：x2+1x2
=(x+1x)2−2
=32−2
=7．
故答案为7．
【答案】
a−b
【考点】
分式的混合运算
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】
原式=a2−2ab+b2a⋅aa−b=(a−b)2a⋅aa−b=a−b，
【答案】
8cm
【考点】
角平分线的性质
等腰直角三角形
【解析】
利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知Rt△ACD≅Rt△AED，再找出图中的三条等边，利用边的和差关系求AB的长度．
【解答】
解：∵ ∠C=90∘，DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴ CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED，
CD=DEAD=AD，
∴ Rt△ACD≅Rt△AED(HL)，
∴ AC=AE，
∴ BD+DE=BD+CD=BC．
又∵ AC=BC，
∴ AE=BC，
∴ △BDE的周长=BD+DE+BE=AE+BE=8cm，
∴ AB=8cm．
故答案为：8cm．
【答案】
13
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
【解答】
解：根据题意，移动其中一个正方形到空白方格中，
与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，
这样的移法有：
一共有13种移法.
故答案为：13．
三、解答题（共8小题，共72分）
【答案】
解：因为五边形的内角和是540∘，
则每个内角为540∘÷5=108∘，
∴ ∠E=∠C=108∘，
又∵ ∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形内角和定理可知，，
∠1=∠2=∠3=∠4
=(180∘−108∘)÷2=36∘，
∴ x=∠EDC−∠1−∠3
=108∘−36∘−36∘=36∘．
【考点】
多边形内角与外角
三角形内角和定理
【解析】
由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠1=∠2=∠3=∠4=36∘，从而求出x=108∘−72∘=36度．
【解答】
解：因为五边形的内角和是540∘，
则每个内角为540∘÷5=108∘，
∴ ∠E=∠C=108∘，
又∵ ∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形内角和定理可知，，
∠1=∠2=∠3=∠4
=(180∘−108∘)÷2=36∘，
∴ x=∠EDC−∠1−∠3
=108∘−36∘−36∘=36∘．
【答案】
解：原式=4−a2+a2−5ab+3ab=4−2ab，
当ab=−12时，原式=4+1=5．
【考点】
整式的混合运算——化简求值
【解析】
原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项先计算乘方运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，把ab的值代入计算即可求出值．
【解答】
解：原式=4−a2+a2−5ab+3ab=4−2ab，
当ab=−12时，原式=4+1=5．
【答案】
解：原式=(a−b)2(a+b)(a−b)+ba+b
=a−ba+b+ba+b
=aa+b，
把 a=−2，b=1代入得：原式=−2−2+1=2．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
首先把分子分母分解因式，再约分化简，然后根据同分母的分数相加，分母不变分子相加进行计算，结果要化为最简形式，再把a=−2，b=1代入化简后的结果可得出分式的值．
【解答】
解：原式=(a−b)2(a+b)(a−b)+ba+b
=a−ba+b+ba+b
=aa+b，
把 a=−2，b=1代入得：原式=−2−2+1=2．
【答案】
原式＝3x(1−4x2)
＝3x(1+2x)(1−2x)；
去分母得：x−3+x−2＝−3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
【考点】
解分式方程
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】
原式＝3x(1−4x2)
＝3x(1+2x)(1−2x)；
去分母得：x−3+x−2＝−3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
【答案】
∵ AD为△ABC的角平分线，∠BAD＝30∘，
∴ ∠BAC＝60∘，
∵ ∠C＝80∘，
∴ ∠B＝180∘−∠BAC−∠C＝180∘−60∘−80∘＝40∘；
证明：∵ △ABC≅△A′B′C′，
∴ ∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AB＝A′B′，
∵ AD是△ABC的一条角平分线，A′D′是△A′B′C′的一条角平分线，
∴ ∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′，
∴ ∠BAD＝∠B′A′D′，
在△BAD和△B′A′D′中
，
∴ △BAD≅△B′A′D′(ASA)，
∴ AD＝A′D′．
【考点】
全等三角形的性质
【解析】
（1）首先根据角平分线的性质和∠BAD的度数求得∠BAC的度数，然后利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据全等三角形性质得出∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AB＝A′B′，求出∠BAD＝∠B′A′D′，证△BAD≅△B′A′D′，即可得出答案．
【解答】
∵ AD为△ABC的角平分线，∠BAD＝30∘，
∴ ∠BAC＝60∘，
∵ ∠C＝80∘，
∴ ∠B＝180∘−∠BAC−∠C＝180∘−60∘−80∘＝40∘；
证明：∵ △ABC≅△A′B′C′，
∴ ∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AB＝A′B′，
∵ AD是△ABC的一条角平分线，A′D′是△A′B′C′的一条角平分线，
∴ ∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′，
∴ ∠BAD＝∠B′A′D′，
在△BAD和△B′A′D′中
，
∴ △BAD≅△B′A′D′(ASA)，
∴ AD＝A′D′．
【答案】
解：（1）∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，
∴ ∠CAB=∠CBA=45∘，
∵ CE⊥AD，
∴ ∠CAD=∠BCF，
∵ BF // AC，
∴ ∠FBA=∠CAB=45∘
∴ ∠ACB=∠CBF=90∘，
在△ACD与△CBF中，
∵ ∠CAD=∠BCFAC=BC∠ACB=∠CBF，
∴ △ACD≅△CBF；
（2）证明：∵ ∠BCE+∠ACE=90∘，∠ACE+∠CAE=90∘，
∴ ∠BCE=∠CAE．
∵ AC⊥BC，BF // AC．
∴ BF⊥BC．
∴ ∠ACD=∠CBF=90∘，
在△ACD与△CBF中，
∵ ∠BCE=∠CAEAC=CB∠ACD=∠CBF，
∴ △ACD≅△CBF，
∴ CD=BF．
∵ CD=BD=12BC，
∴ BF=BD．
∴ △BFD为等腰直角三角形．
∵ ∠ACB=90∘，CA=CB，
∴ ∠ABC=45∘．
∵ ∠FBD=90∘，
∴ ∠ABF=45∘．
∴ ∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴ BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
【考点】
全等三角形的性质
线段垂直平分线的性质
【解析】
（1）根据∠ACB=90∘，求证∠CAD=∠BCF，再利用BF // AC，求证∠ACB=∠CBF=90∘，然后利用ASA即可证明△ACD≅△CBF．
（2）先根据ASA判定△ACD≅△CBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．
【解答】
解：（1）∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，
∴ ∠CAB=∠CBA=45∘，
∵ CE⊥AD，
∴ ∠CAD=∠BCF，
∵ BF // AC，
∴ ∠FBA=∠CAB=45∘
∴ ∠ACB=∠CBF=90∘，
在△ACD与△CBF中，
∵ ∠CAD=∠BCFAC=BC∠ACB=∠CBF，
∴ △ACD≅△CBF；
（2）证明：∵ ∠BCE+∠ACE=90∘，∠ACE+∠CAE=90∘，
∴ ∠BCE=∠CAE．
∵ AC⊥BC，BF // AC．
∴ BF⊥BC．
∴ ∠ACD=∠CBF=90∘，
在△ACD与△CBF中，
∵ ∠BCE=∠CAEAC=CB∠ACD=∠CBF，
∴ △ACD≅△CBF，
∴ CD=BF．
∵ CD=BD=12BC，
∴ BF=BD．
∴ △BFD为等腰直角三角形．
∵ ∠ACB=90∘，CA=CB，
∴ ∠ABC=45∘．
∵ ∠FBD=90∘，
∴ ∠ABF=45∘．
∴ ∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴ BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
【答案】
该种纪念品4月份的销售价格是50元；
（2）由（1）知4月份销售件数为200050=40（件），
5月份销售件数为40+20=60件，且每件售价为50×0.9=45（元），每件比4月份少盈利5元，为20−5=15（元），
所以5月份销售这种纪念品获利60×15=900（元）．
【考点】
分式方程的应用
【解析】
（1）等量关系为：4月份营业数量=5月份营业数量−20；
（2）算出4月份的数量，进而算出5月份的售价及每件的盈利，乘以5月份的数量即为5月份的获利．
【解答】
解：（1）设该种纪念品4月份的销售价格为x元．
根据题意得
2000x=2000+700x−20
解得x=50，
经检验x=50是原分式方程的解，且符合实际意义．
答：该种纪念品4月份的销售价格是50元；
（2）由（1）知4月份销售件数为200050=40（件），
5月份销售件数为40+20=60件，且每件售价为50×0.9=45（元），每件比4月份少盈利5元，为20−5=15（元），
所以5月份销售这种纪念品获利60×15=900（元）．
【答案】
解：1∵ ∠BAC=∠DAE，
∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴ △ABD≅△ACE(SAS)，
∴ ∠B=∠ACE．
∴ ∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴ ∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵ ∠BAC=90∘
∴ ∠BCE=90∘.
(2)①当点D在线段BC上移动时，
α与β之间的数量关系是α+β=180∘.
理由：∵ ∠DAE=∠BAC，
∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴ △ABD≅△ACE(SAS)，
∴ ∠B=∠ACE.
在△ABC中，
∵ ∠B+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴ ∠ACE+∠ACB+∠BAC=180∘，
即∠BCE+∠BAC=180∘，
即α+β=180∘.
②(i)当点D在CB的延长线上，如图，α=β.
理由是：
∵ ∠DAE=∠BAC，
∴ ∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴ ∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中
∵ AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴ △BAD≅△CAE(SAS)，
∴ ∠ABD=∠ACE.
∵ ∠ACB=∠ABD−∠BAC=∠ACE−∠BCE，
∴ ∠BAC=∠BCE，
∴ α=β.
(ii)当点D在BC的延长线上时，如图，α+β=180∘.
理由是：
∵ ∠DAE=∠BAC，
∴ ∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴ ∠CAE=∠BAD.
在△BAD和△CAE中
∵ AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴ △BAD≅△CAE(SAS)，
∴ ∠B=∠ACE.
在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠ACB=180∘，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180∘
∴ ∠BAC+∠BCE=180∘，
即α+β=180∘.
【考点】
全等三角形的判定
等腰三角形的性质
【解析】
（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≅△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；
（3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．
【解答】
解：1∵ ∠BAC=∠DAE，
∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴ △ABD≅△ACE(SAS)，
∴ ∠B=∠ACE．
∴ ∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴ ∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵ ∠BAC=90∘
∴ ∠BCE=90∘.
(2)①当点D在线段BC上移动时，
α与β之间的数量关系是α+β=180∘.
理由：∵ ∠DAE=∠BAC，
∴ ∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴ △ABD≅△ACE(SAS)，
∴ ∠B=∠ACE.
在△ABC中，
∵ ∠B+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴ ∠ACE+∠ACB+∠BAC=180∘，
即∠BCE+∠BAC=180∘，
即α+β=180∘.
②(i)当点D在CB的延长线上，如图，α=β.
理由是：
∵ ∠DAE=∠BAC，
∴ ∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴ ∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中
∵ AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴ △BAD≅△CAE(SAS)，
∴ ∠ABD=∠ACE.
∵ ∠ACB=∠ABD−∠BAC=∠ACE−∠BCE，
∴ ∠BAC=∠BCE，
∴ α=β.
(ii)当点D在BC的延长线上时，如图，α+β=180∘.
理由是：
∵ ∠DAE=∠BAC，
∴ ∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴ ∠CAE=∠BAD.
在△BAD和△CAE中
∵ AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴ △BAD≅△CAE(SAS)，
∴ ∠B=∠ACE.
在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠ACB=180∘，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180∘
∴ ∠BAC+∠BCE=180∘，
即α+β=180∘.