高端精品高中数学二轮专题-等差数列教案

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1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)①通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．
②通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq \f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项．
①若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
②当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(4)前n项和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．
2.常用结论：
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(2)若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2).
(3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
题型一. 等差数列的基本量
1．已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝ ．
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（ ）
A．﹣12B．﹣10C．10D．12
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（ ）
A．1B．2C．4D．8
题型二. 等差数列的基本性质
1．在等差数列{an}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（ ）
A．30B．24C．18D．12
2．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−13a11的值为（ ）
A．17B．16C．15D．14
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝10，S4＝36，则公差d为 ．
题型三.等差数列的函数性质
1．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
（1）数列{an}是递增数列；
（2）数列{nan}是递增数列；
（3）数列{ann}是递减数列；
（4）数列{an+3nd}是递增数列．
其中的真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2（n∈N*），则{an}的通项公式为（ ）
A．an＝2nB．an＝2n﹣1
C．an＝3n﹣2D．an=1，n=12n，n≥2
3．在数列{an}中，若an＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（ ）
A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3
题型四. 等差数列的前n项和经典结论
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（ ）
A．27B．33C．36D．45
2．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1=−11，S1010−S88=2，则S11＝（ ）
A．﹣11B．11C．10D．﹣10
3．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知SnTn=n2n+1，则a7b7等于（ ）
A．1321B．214C．1327D．827
题型五. 等差数列的最值问题
1．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当Sn最大时，n的值为（ ）
A．8B．9C．10D．16
2．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n为何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
3．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为 ．
题型六. 证明等差数列
1．已知数列{an}满足a1=35，an=2−1an−1(n≥2，n∈N∗)，数列{bn}满足bn=1an−1(n∈N∗)．
（1）求证数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}中的最大项和最小项．
2．已知数列{an}中，a2＝1，前n项和为Sn，且Sn=n(an−a1)2．
（1）求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
课后作业. 等差数列
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（ ）
A．36B．24C．16D．8
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（ ）
A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（ ）
A．a8＜0
B．当且仅当n＝7时，Sn取得最大值
C．S4＝S9
D．满足Sn＞0的n的最大值为12
4．若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大；当Sn＞0时n的最大值为 ．
5．在数列{an}中，a2＝8，a5＝2，且2an+1﹣an+2＝an（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（ ）
A．210B．10C．50D．90
6．已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn=18（an+2）2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=12an﹣30，求数列{bn}的前n项和的最小值．