高端精品高中数学二轮专题-外接球和内切球（带答案）教案

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1．已知球O面上的四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC=3，则球O的体积等于（ ）
A．43πB．162π3C．4π3D．9π2
【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=6，
由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，
∴CD为球的直径，CD=DA2+AC2=3，
∴球的半径R=32，
∴V球=43πR3=9π2．
故选：D．
2．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝234，AD＝BC＝241，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为 200π ．
【解答】解：四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝234，AD＝BC＝241，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．
设长方体的长宽高分别为a，b，c．
则a2+b2=100a2+c2=136b2+c2=164，
那么：2（a2+b2+c2）＝400．
a2+b2+c2＝200．
长方体的对角线：200，
外接球的半径2R=200．
∴R＝52．
四面体A﹣BCD外接球的表面积S＝4πR2＝200π．
故答案为：200π．
3．已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为 33 ．
【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，
∵球O的半径为3，
∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝PC＝2
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=13S△ABC×h=13S△PAB×PC=13×12×2×2×2=43
△ABC为边长为22的正三角形，S△ABC=34×(22)2=23，
∴h=3VS△ABC=233
∴正方体中心O到截面ABC的距离为3−233=33
故答案为 33
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题型二. 柱体模型
1．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．πB．3π4C．π2D．π4
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r=12−(12)2=32，
∴该圆柱的体积：V＝Sh=π×(32)2×1=3π4．
故选：B．
2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于 8π ．
【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，
设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，
在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理得：cs1200=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=−12，∴BC=3，
∴由正弦定理得：2r=BCsin1200=2，∴r＝1，
∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM=12AA1=1，MC＝r＝1，
∴R2＝12+12＝2，
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，
故答案为：8π．
3．若三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．103πB．18πC．20πD．93π
【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，
故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P﹣ABC，
所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，
所以外接球的直径2R=42+22=25，
则R=5，
所以该球的表面积为S=4πR2=4π⋅(5)2=20π．
故选：C．
声明：试
题型三. 正棱锥模型
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A．81π4B．16πC．9πD．27π4
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2＝（4﹣R）2+（2）2，
∴R=94，
∴球的表面积为4π•（94）2=81π4．
故选：A．
2．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A．334B．33C．34D．312
【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的
三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，
设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，23×32a=1，∴a=3
该正三棱锥的体积：13×34×(3)2×1=34．
故选：C．
3．如图ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，S﹣ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．916πB．2516πC．4916πD．8116π
【解答】解：设球的半径为R，则
∵底面正方形的外接圆的半径为22，
∴由勾股定理可得R2＝（22）2+（2﹣R）2，
∴R=98，
∴球的表面积为4πR2=8116π．
故选：D．
题型四. 一般锥的外接球
1．已知三棱锥D﹣ABC四个顶点均在半径为R的球面上，且AB=BC=2，AC＝2，若该三棱锥体积的最大值为43，则这个球的表面积为 289π16 ．
【解答】解：因为AB=BC=2，AC＝2，
则AB⊥BC，且△ABC外接圆的半径为1，
因为该三棱锥体积的最大值为43，
则V=13S△ABC⋅ℎ=13×1×ℎ=43，
则h＝4，即点D到平面ABC的距离最大为4，
设球的半径为R，则R2＝1+（4﹣R）2，
解之得R=178，
则表面积为289π16，
故答案为：289π16．
2．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（ ）
A．64πB．65πC．66πD．128π
【解答】解：由于PB＝PC，取BC的中点为O'，则PO'⊥BC，
由于平面ABC⊥平面PBC，
即有PO'⊥平面ABC，
∵PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，
∴PB＝6，PO'＝42，
△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，
∴sin∠ABC=426=223，
∴2r=6223，
设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，
则（922）2+h2＝（42−h）2+（42−922）2＝R2，
解得R=652．
球O的表面积为4πR2＝65π，
故选：B．
3．在菱形ABCD中，A＝60°，AB=3，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小为2π3，则三棱锥P﹣BCD的外接球体积为（ ）
A．43πB．32πC．776πD．772π
【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC=2π3，PE＝CE=32
设△BCD的外接圆的圆心与球心的距离为h，
三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则R2=1+ℎ2(334−ℎ)2+(54)2=R2，
∴R=72，h=32，
∴三棱锥P﹣BCD的外接球体积为43π⋅(72)3=776π．
故选：C．
4．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝4，则此棱锥的体积为（ ）
A．423B．433C．823D．42
【解答】解：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=233，
所以点O到平面ABC的距离d=R2−r2=263，
SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d=463，
此棱锥的体积为V=13S△ABC×2d=13×3×463=423，
故选：A．
题型五. 内切球
1．将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
A．2π3B．3π3C．4π3D．2π
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，
则2πr=2π3×3，
∴r＝1，h=32−1=22，
设内切球的半径为R，则R22−R=13，
∴R=22，V=43πR3=43π（22）3=23π，
故选：A．
2．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A．1：3B．1：(3+3)C．(3+1)：3D．(3−1)：3
【解答】解：三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则
它的对角线的长度为：3a
球的半径为：3a2，
再设正三棱锥内切球的半径为r，
根据三棱锥的体积的两种求法，得
13×12×a3=13×[12a2×3+34(2a)2]×r，
∴r=3−36a，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为3−36a3a2=(3−1)：3．
故选：D．
3．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内切球，则球O的表面积为（ ）
A．8π3B．4π3C．86π27D．46π27
【解答】解：由题意，该八面体的棱长为2，
设球O的半径为r，13S表⋅r=13×2×2×22=13×8×34×22⋅r，解得r=23
所以球O的表面积为：4π×(23)2=8π3．
故选：A．
课后作业. 外接球与内切球
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD=π3，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积是 43π ．
【解答】解：如图，∵底面ABCD为菱形，
∴OA⊥OB，
∴AB中点N为△AOB的外心，
取PA中点M，
则MN∥PB，
∵PB⊥底面ABCD，
∴MN⊥底面ABCD，
∴M为三棱锥P﹣AOB的外接球球心，
∵PB＝1，∠APB=π3，
∴AP＝2，
∴外接球半径为1，
体积为43π，
故答案为：4π3．
2．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（ ）
A．74πB．2πC．94πD．3π
【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A
∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R＝2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O＝1，
∴Rt△O1OA中，O1A=OA2−OO12=3．
又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE＝AO1cs30°=32．
∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r=32，
可得截面面积为S＝πr2=9π4．
故选：C．
3．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为93，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．123B．183C．243D．543
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为93，可得34×AB2=93，解得AB＝6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C=23×32×6=23，OO′=42−(23)2=2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：13×34×63=183．
故选：B．
4．已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．20π3B．6πC．22π3D．8π
【解答】解：如图取BD中点H，AC中点M，连接MH
因为AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC
所以BD⊥CH，BD⊥AH，则BD⊥面ACH，三角形ACH是等腰直角三角形．所以MH⊥AC，所以∠AHM＝45°，AH=3，
所以球心必落在直线MH上，设为点O，连接OA、OD，则OA＝OD＝OC＝OB．
设OH＝x，在三角形OHD中，HD＝1，所以OD2＝x2+1
在三角形AOH中，OA2＝x2+32﹣23xcs45°
所以x2+1＝x2+32﹣23xcs45°，解得x=63，所以R2=OD2=53
故外接球的表面积S＝4πR2=20π3
故选：A．
5．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A．33B．23C．3D．1
【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD．因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC＝∠SBC＝90°
所以在Rt△SAC中，SC＝4，∠ASC＝30° 得：AC＝2，SA＝23
又在Rt△SBC中，SC＝4，∠BSC＝30° 得：BC＝2，SB＝23 则：SA＝SB，AC＝BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=SA2−AD2=12−34=352
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=AC2−AD2=4−34=132
又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=13AB•S△SCD，
因为：SD=352，CD=132，SC＝4 所以由余弦定理得：cs∠SDC＝（SD2+CD2﹣SC2）12SD⋅CD=（454+134−16）12×352×132=−6413652=−165
则：sin∠SDC=1−cs2∠SDC=865
由三角形面积公式得△SCD的面积S=12SD•CD•sin∠SDC=12×352×132×865=3
所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=13AB•S△SCD=13×3×3=3
故选：C．
6．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=2π3，AP＝3，AB＝23，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为π3，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 57π ；则三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为 35 ．
【解答】解：如图，
Q是边BC上的一动点，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角的最大值为π3，
则当AQ⊥BC时，∠PQA=π3，由tanπ3=PAAQ，得AQ=33=3，
在△ABQ中，BQ=AB2−AQ2=12−3=3，
∵sin∠BAQ=BQAB=323=32，∴∠BAQ=π3，则∠CAQ=π3，
由tan∠CAQ=CQAQ，得CQ=3×3=3，
∴BC＝BQ+CQ＝3+3＝6，设△ABC外接圆的半径为r，
则2r=BCsin2π3=632=43，可得r=23．
设三棱锥外接球的半径为R，则R2=r2+(PA2)2=12+94=574，
可得外接球的表面积S＝4πR2＝57π；
在Rt△AQC中，AC=AQ2+CQ2=23，可得△ABC是等腰三角形，
三棱锥P﹣ABC的表面积为S＝2×12×23×3+12×6×3+12×6×32+(3)2=153，
设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r′，
则13×12×6×3×3=13×153×r′，解得r′=35．
即三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为35．
故答案为：57π；35．