高端精品高中数学二轮专题-平面向量（三角形四心及奔驰定理）（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学二轮专题-平面向量（三角形四心及奔驰定理）（带答案）教案，共8页。
考点1.重心
1．已知△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→=0→．若存在实数m使得AM→=m(AB→+AC→)成立，则m＝（ ）
A．1B．12C．13D．14
【解答】解：因为AB→+AC→=AM→+MB→+AM→+MC→=2AM→+MB→+MC→，
又MA→+MB→+MC→=0→，所以MB→+MC→=−MA→=AM→，
则AB→+AC→=2AM→+AM→=3AM→，所以AM→=13(AB→+AC→)，
所以m=13，
故选：C．
2．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→=OA→+λ（AB→|AB→|sinB+AC→|AC→|sinC）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解答】解：∵|AB→|sinB=|AC→|sinC设它们等于t，
∴OP→=OA→+λ⋅1t（AB→+AC→）
而AB→+AC→=2AD→
λ⋅1t（AB→+AC→）表示与AD→共线的向量AP→
而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．
故选：C．
3．已知点P是△ABC所在平面内，且使得|PA→|2+|PB→|2+|PC→|2取得最小值的点，则点P是△ABC的（ ）
A．重心B．外心C．垂心D．内心
【解答】解：根据题意，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，OP→=p→，
则|PA→|2+|PB→|2+|PC→|2=(a→−p→)2+(b→−p→)2+(c→−p→)2=3p→2−2（a→+b→+c→）•p→+（a→2+b→2+c→2），
当p→=13（a→+b→+c→）时，上式取得最小值，此时P是△ABC的重心．
故选：A．
考点2.内心
1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→=OA→+λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)，λ∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 内 心．
【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，
动点P满足OP→=OA→+λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)，λ∈[0，+∞)，
即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．
故答案为：内
2．已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若aOA→+bOB→+cOC→=0→，则O是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【解答】解：∵OB→=AB→−AO→，OC→=AC→−AO→
∴aOA→+bOB→+cOC→=aOA→+b（AB→−AO→）+c（AC→−AO→）
＝bAB→+cAC→−（a+b+c）AO→
而 aOA→+bOB→+cOC→=0→，
∴（a+b+c）AO→=bAB→+cAC→
即 AO→=ba+b+cAB→+ca+b+cAC→
记AB→=cn1→，AC→=bn2→，其中n1→、n2→分别表示AB→、AC→方向上的单位向量
则 AO→=bca+b+c（n1→+n2→）
由该式可以看出AO位于∠BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点．
故选：D．
考点3.外心
1．设P是△ABC所在平面内的一点，若AB→⋅(CB→+CA→)=2AB→⋅CP→，且|AP→|=|CP→|．则点P是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解答】解：取AB的中点D，则CA→+CB→=2CD→，
∵AB→⋅(CB→+CA→)=2AB→⋅CP→，即2AB→⋅CD→=2AB→⋅CP→，
∴AB→⋅（CD→−CP→）＝0，即AB→⋅PD→=0，
∴P在AB的中垂线上，
∴PA＝PB，又AP＝CP，
∴P为△ABC的外心．
故选：A．
2．设P是△ABC所在平面内的一点，若AB→⋅(CB→+CA→)=2AB→⋅CP→且AB→2=AC→2−2BC→⋅AP→．则点P是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则CB→+CA→=2CD→，
∵AB→•（CB→+CA→）＝2AB→•CP→，即2AB→•CD→=2AB→•CP→，
∴AB→•（CD→−CP→）=AB→•PD→=0，即AB→⊥PD→，
∴P在AB的中垂线上，
又AB→2=AC→2−2BC→⋅AP→．
∴（AB→+AC→）•（AB→−AC→）＝﹣2BC→•AP→，
∴（AB→+AC→）•CB→=−2BC→•AP→，
即CB→•（AB→+AC→）＝2CB→•AP→，
∴点P也在BC的中垂线上，
∴点P是△ABC的外心．
故选：A．
考点4.垂心
1．已知O为△ABC所在平面上一点，且OA→2+BC→2=OB→2+CA→2=OC→2+AB→2，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解答】解：∵OA→2+BC→2=OB→2+CA→2，
∴OA→2+（OC→−OB→）2=OB→2+（OA→−OC→）2，
即OA→2+OB→2+OC→2﹣2OC→•OB→=OA→2+OB→2+OC→2﹣2OC→•OA→，
即OC→•OB→=OC→•OA→，即OC→•（OB→−OA→）=OC→•AB→=0，
即OC⊥AB，
同理，OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故选：D．
2．O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足OP→=OA→+λ(AB→|AB→|cs∠ABC+AC→|AC→|cs∠BCA)，λ∈R，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．
则BC→•AB→|AB→|cs∠ABC=|BC→||AB→|cs(π−B)|AB→|cs∠ABC=−|BC→|，
同理BC→⋅AC→|AC→|cs∠ACD=|BC→|，
∵动点P满足OP→=OA→+λ(AB→|AB→|∠csABC+AC→|AC→|cs∠BCA)，λ∈R．
∴AP→=λ(AB→|AB→|cs∠ABC+AC→|AC→|cs∠ACD)，λ∈R．
∴AP→⋅BC→=λ(BC→⋅AB→|AB→|cs∠ABC+BC→⋅AC→|AC→|cs∠ACD)=λ(−|BC→|+|BC→|)=0，
∴AP→⊥BC→，
因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
故选：D．
题型二. 面积问题——奔驰定理
1．已知点O为三角形ABC内一点，OA→+2OB→+3OC→=0→，则S△ABCS△AOC= 3 ．
【解答】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；
OA→+2OB→+3OC→=(OA→+OC→)+2(OB→+OC→)
=2OE→+4OD→
=0→
∴OE→=−2OD→；
∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；
∴DE=32OE，AB＝2DE；
∴AB＝3OE；
∴S△ABCS△AOC=3．
故答案为：3．
2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD→=13AB→+12AC→，则S△BCDS△ABD=（ ）
A．16B．13C．12D．23
【解答】解：由已知，在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，
且AD→=13AB→+12AC→，
点D在平行于AB的中位线上，且为靠近AC边，
从而有S△ABD=12S△ABC，S△ACD=13S△ABC，
S△BCD=(1−12−13)S△ABC=16S△ABC，有S△BCDS△ABD=13．
故选：B．
3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3AM→−AB→−AC→|=0，则△ABM与△ABC的面积之比值为 13 ．
【解答】解：如图，取BC的中点为D，则AB→+AC→=2AD→，
∵|3AM→−AB→−AC→|=0，
∴3AM→−AB→−AC→=0→，
∴3AM→=2AD→，∴AM→=23AD→，
∴|AM→|=23|AD→|，
∴S△ABM=23S△ABD=23×(12S△ABC)=13S△ABC，
∴S△ABMS△ABC=13．
故答案为：13．
4．平面上O，A，B三点不共线，设OA→=a→，OB→=b→，则△OAB的面积等于（ ）
A．|a→|2|b→|2−(a→⋅b→)2B．|a→|2|b→|2+(a→⋅b→)2
C．12|a→|2|b→|2−(a→⋅b→)2D．12|a→|2|b→|2+(a→⋅b→)2
【解答】解：S△OAB=12|a→||b→|sin＜a→，b→＞
=12|a→||b→|1−cs2＜a→，b→＞ =12|a→||b→|•1−(a→⋅b→)2|a→|2|b→|2 =12|a→|2|b→|2−(a→⋅b→)2；
故选：C．
5．设 P、Q为△ABC内的两点，且AP→=25AB→+15AC→，AQ→=14AB→+23AC→，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（ ）
A．45B．85C．43D．310
【解答】解：设AM→=25AB→，AN→=15AC→，则
∵AP→=25AB→+15AC→，∴AP→=AM→+AN→
由平行四边形法则知NP∥AB
∴△ABP的面积与△ABC的面积之比15
同理△ABQ的面积与△ABC的面积之比为23
∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为15：23=310
故选：D．