高端精品高中数学二轮专题-数列求通项（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学二轮专题-数列求通项（带答案）教案，共6页。
数列求通项知识梳理.数列求通项1.利用与的关系求通项公式；2.累加法：若已知且的形式； 3.累乘法：若已知且的形式；4.构造法：若已知且的形式       （其中p，q均为常数）； 题型一. 利用Sn与an的关系考点1.已知Sn与an的关系求an1．已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a5＝9，数列{bn}的前n项和Snbn．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；【解答】解：（Ⅰ）数列{an}为等差数列，∴d（a5﹣a3）＝2，又∵a3＝5，∴a1＝1，∴an＝2n﹣1，当n＝1时，S1b1，∴b1＝1，当n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1bnbn﹣1，∴bn＝﹣2bn﹣1，即数列{bn}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴bn＝（﹣2）n﹣1， 2．已知数列{an}的前n项和Sn满足．（1）求数列{an}的通项公式；【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝3（a1﹣1）＝2a1，得a1＝3，当n≥2时，2Sn＝3（an﹣1），2Sn﹣1＝3（an﹣1﹣1），两式作差可得2 an＝3an﹣3an﹣1，即an＝3an﹣1，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n；3．记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＜0，an2﹣3an＝4﹣6Sn．（1）求数列{an}的通项公式；【解答】解：（1）当n＝1时，，所以a1＝﹣4或a1＝1（舍）当n≥2时，因为，所以，两式相减得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1+3）＝0，因为an＜0，所以an﹣an﹣1＝﹣3，所以数列{an}是以﹣4为首项﹣3为公差的等差数列，所以an＝﹣4+（n﹣1）⋅（﹣3）＝﹣3n﹣1．  考点2.带省略号1．设数列{an}满足．（Ⅰ）求a1，a2及{an}的通项公式；【解答】解：（Ⅰ）∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，当n＝1时，a1＝2，当n＝2时，a1+3a2＝4，∴a2，∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，①，∴n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1），②①﹣②得：（2n﹣1）•an＝2，∴an，又n＝1时，a1＝2满足上式，∴；2．已知数列{an}，an＝2n+1，则（　　）A． B．1﹣2n C． D．1+2n【解答】解：an+1﹣an＝2n+1+1﹣（2n+1）＝2n∴∴故选：C． 题型二. 累加法1．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+n+1．（1）求{an}的通项公式；【解答】解：（1）由a1＝1，an+1＝an+n+1，可得n≥2时，an﹣an﹣1＝n，可得an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝1+2+3+...+nn（n+1），即ann（n+1），n∈N*；2．设数列{an}满足a1＝2，an+1﹣an＝3•22n﹣1，则数列{an}的通项公式是an＝　22n﹣1　．【解答】解：∵a1＝2，an+1﹣an＝3•22n﹣1，∴n≥2时，an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）＝2+3•2+3•23+…+3•22n﹣3＝2+322n﹣1；当n＝1时a1＝2适合上式．∴．故答案为：22n﹣1．3．在数列{an}中，，则数列{an}的通项an＝　      　．【解答】解：a1＝2＝2+ln1，a2＝2+ln2，2+ln[2×（1）]＝2+ln3，2+ln4．由此可知an＝2+lnn．故选：D． 题型三.累乘法1．在数列{an}中，已知（n2+n）an+1＝（n2+2n+1）an，n∈N+，且a1＝1，求an的表达式．【解答】解：由题意，∵a1＝1，∴{}是以1为首项，0为公差的等差数列，∴1，∴an＝n．2．已知数列{an}满足a1＝3，an+1an（n≥1），求an的通项公式．【解答】解：∵数列{an}满足a1＝3，an+1an（n≥1），∴（n≥2），∴an•…••••…•••3，当n＝1时也成立．∴an．3．已知正项数列{an}的首项a1＝1，且2nan+12+（n﹣1）anan+1﹣（n+1）an2＝0（n∈N*），则{an}的通项公式为an＝　　．【解答】解：∵2nan+12+（n﹣1）anan+1﹣（n+1）an2＝0，∴（2nan+1﹣（n+1）an）•（an+1+an）＝0，∵数列{an}为正项数列，∴an+1+an≠0，∴2nan+1﹣（n+1）an＝0，∴，∴，，，…，两边累乘得，n•∴an，故答案为：， 题型四. 构造法1．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1＝2an+1，且a1+2a2＝a3．（1）求数列{an}的通项公式；【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1＝2an+1，整理得：an+1+1＝2（an+1），由a1+2a2＝a3＝2a2+1，解得a1＝1，故数列{an+1}是以a1+1＝2为首项，2为公比的等比数列；所以．2．已知数列{an}满足an＝3an﹣1+3n（n≥2，n∈N*），首项a1＝3．（1）求数列{an}的通项公式；【解答】解：（1）数列{an}满足（n≥2，n∈N*），∴，又∵3n≠0，∴为常数，∴数列是首项为、公差为1的等差数列，∴n，∴（n∈N*）；3．已知数列{an}满足，，则a2021＝（　　）A． B． C． D．【解答】解：因为，则，又，则，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，则，所以，则a2021．故选：D．