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精品解析：2020年山东省枣庄市山亭区中考数学一模试题（解析版+原卷版）
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2020年山东省枣庄市山亭区中考数学一模试题
一．选择题（共12小题）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 3 D. -3
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据相反数的意义知：的相反数是.
故选A．
【考点】相反数.
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 如图，直线a∥b，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上，若∠1＝15°，则∠2的度数是（ ）
A. 45° B. 30° C. 15° D. 10°
【答案】B
【解析】
【分析】根据a∥b，得到∠1+∠3+∠4+∠2=180°，将∠1=15°，∠3=45°，∠4=90°代入即可求出∠2的度数．
【详解】如图，
∵a∥b，
∴∠1+∠3+∠4+∠2＝180°，
∵∠1＝15°，∠3＝45°，∠4＝90°，
∴∠2＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4. 实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. a＜﹣1 B. ab＞0 C. a﹣b＜0 D. a+b＜0
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用a，b在数轴上的位置，进而分别对各个选项进行分析得出答案．
【详解】选项A，从数轴上看出，a在﹣1与0之间，
∴﹣1＜a＜0，
故选项A不合题意；
选项B，从数轴上看出，a在原点左侧，b在原点右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
故选项B不合题意；
选项C，从数轴上看出，a在b的左侧，
∴a＜b，
即a﹣b＜0，
故选项C符合题意；
选项D，从数轴上看出，a在﹣1与0之间，
∴1＜b＜2，
∴|a|＜|b|，
∵a＜0，b＞0，
所以a+b＝|b|﹣|a|＞0，
故选项D不合题意．
故选C．
【点睛】本题考查数轴和有理数的四则运算，解题的关键是掌握利用数轴表示有理数的大小.
5. 在某学校汉字听写大赛中，有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前10名才能参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】可知一共有21名同学参赛，要取前10名，因此只需知道这组数据的中位数即可.
【详解】解：∵ 有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前10名才能参加决赛，
∴小颖是否能进入决赛，将21名同学的成绩从小到大排列，可知第11名同学的成绩是这组数据的中位数，
∴小颖要知道这组数据的中位数，就可知道自己是否进入决赛.
故答案为A
【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6. 截止到2020年2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金亿元，其中中央财政安排亿元，为疫情防控提供了有力保障，其中数据亿用科学记数法可表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：亿=25290000000=；
故选：C.
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7. 将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A. (，﹣1) B. (1，﹣) C. (，﹣) D. (﹣，)
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴旋转后OA与y轴夹角为45°，
∵OA=2，
∴OA′=2，
∴点A′的横坐标为2×=，
纵坐标为-2×=-，
所以，点A′的坐标为（，-）
故选C.
8. 如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵A、B是4×5网格中的格点，
∴AB=，
同理可得，AC=BD=AC=，
∴所求三角形有：△ABD，△ABC，△ABE．如图：
故选B．
考点：1.等腰三角形的判定.2.勾股定理.
9. 在平面直角坐标系中，将点称为点的“关联点”例如点是点的“关联点”如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点所在的象限为
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第一、三象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据关联点的定义即可求出该点的位置．
【详解】解：点的关联点为，
若与在同一象限，
则横纵坐标的乘积的符号必定相同且不能同号，
故该点在第二象限或第四象限，
故选C．
【点睛】本题考查新定义问题，解题的关键是正确理解新定义，本题属于中等题型．
10. 如图，在□中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于两点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在□的内部交于点；③连接并延长交于点，交的延长线于点，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到BF，BA的长，进而得到AF的长．
【详解】由题意得到，CF是∠ACD的平分线，
∴∠BCF=∠DCF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=8，
∴∠F=∠DCF，
∴∠BCF=∠F，
∴BF=BC=10，
∴AF=BF-AB=10-8=2；
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
11. 如图，菱形在第一象限内，，反比例函数图象经过点，交边于点，若的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】过A作AE⊥x轴于E，设OE=，则AE=，OA=，即菱形边长为，再根据△AOD的面积等于菱形面积的一半建立方程可求出，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解.
【详解】如图，过A作AE⊥x轴于E，
设OE=，
在Rt△AOE中，∠AOE=60°
∴AE=，OA=
∴A，菱形边长为
由图可知S菱形AOCB=2S△AOD
∴，即
∴
∴
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，利用特殊角度的三角函数值表示出菱形边长及A点坐标是解决本题的关键.
12. 已知二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，下列结论：①;②;③;④正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由对称轴为直线，开口向下，则，抛物线与x轴的另一个交点为，当时，可判断①；当时，可判断②；由，可判断③；由，代入计算，即可判断④；然后得到答案.
【详解】解：根据题意，
∵二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，
∴，抛物线与x轴的另一个交点为，，
由图可知，当时，函数图像在x轴上方，则，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线经过点，
∴当时，，故②错误；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，则，
∴，故④正确；
∴正确的选项有①③④，共3个；
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
二．填空题（共6小题）
13. 计算：_______
【答案】
【解析】
【分析】先计算零指数幂、特殊角的三角函数，即可得到答案.
【详解】解：
=
=；
故答案为：.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则.
14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
【答案】k＞且k≠1.
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故答案为k＞且k≠1．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义.
15. 长红枣是地方特产，色泽红艳，酥脆甘甜，营养丰富，有着较高的滋补和药用价值，被誉为“天然维生素丸”．某网店以a元一包的价格购进500包长红枣，加价20%卖出400包以后，剩余每包比进价降低b元后全部卖出，则可获得利润_____元．
【答案】（80a﹣100b）
【解析】
【分析】根据题意用利润=总售价-总成本可列出利润的表达式．
【详解】由题意知，（1+20%）a×400+100（a﹣b）﹣500a＝（80a﹣100b）元，
故答案是：（80a﹣100b）．
【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
16. 如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（4，4），则点G的坐标是_____．
【答案】（2，4）
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质结合矩形的性质得出OB，BG的长，即可得出答案．
【详解】∵矩形ABCD，点D的坐标为（1，2），
∴AD＝BC＝2，
∵矩形BEFG，点F的坐标为（4，4），
∴EF＝BG＝4，
∴，
∴OB＝2，
故点G的坐标是（2，4）．
故答案：（2，4）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的长是解题关键．
17. 如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形的位置，，则阴影部分的面积为_________．
【答案】.
【解析】
【分析】先求出CE=2CD，求出∠DEC=30°，求出∠DCE=60°，DE=2，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=4，CD=AB=2，∠BCD=∠ADC=90°，
∴CE=BC=4，∴CE=2CD，∴∠DEC=30°，∴∠DCE=60°，
由勾股定理得：DE=2，
∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′﹣S△CDE=，
故答案为．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质.
18. 对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣﹣与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点之间的距离，则A2B2+…+A2019B2019的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用因式分解的方法得到交点式y=，从而得到抛物线与x轴的交点An、Bn坐标为（，0），（，0），所以AnBn=，所以A2B2+…+A2019B2019=，然后合并即可．
【详解】∵，
∴抛物线与x轴的交点An、Bn坐标为（，0），（，0），
∴AnBn＝，
∴A2B2＝，
A3B3＝，
…
A2019B2019＝，
∴A2B2+…+A2019B2019＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
三．解答题（共7小题）
19. 先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．
【答案】，-2
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求得x的范围，据此得出x的整数值，继而根据分式有意义的条件得出x的值，代入计算可得．
【详解】解：，
解不等式组得，-1≤x≤，∴不等式组的整数解为-1，0，1，2，
∵x≠±1且x≠0，
∴x=2，
将x=2代入得，
原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及解不等式组，解题的关键是掌握基本运算法则，并注意选取代入的数值一定要使原分式有意义．
20. 2020年春节前夕“新型冠状病毒”爆发．疫情就是命令，防控就是使命，全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当，舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城．如图两幅图是2月9日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．
请解答下列问题：
（1）①上述省市2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为 人；
②请将图①的条形统计图补充完整；
（2）请求出图②的扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角的度数；
（3）本次河北驰援武汉的医护工作者中，有5人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的5人中随机安排2人，求同时安排王医生和李医生的概率．
【答案】（1）①5000；②见解析；（2）21.6°；（3）
【解析】
【分析】（1）①根据辽宁的人数和所占的百分比求出2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数；
②先求出江苏、浙江和山东所占百分比，再用整体1减去各省份所占的百分比，求出山西所占的百分比，再用总人数乘以山西所占的百分比即可补全统计图；
（2）用山西所占的百分比乘以360°即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和同时安排王医生和李医生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）①2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为＝5000（人），
②江苏所占的百分比是：×100%＝19.16%；
浙江所占的百分比是：×100%＝15.94%；
山东所占的百分比是：×100%＝13.9%；
则山西所占的百分比是：1﹣19.16%﹣7%﹣6%﹣6%﹣6%﹣13.9%﹣15.94%﹣20%＝6%，
山西的人数是5000×6%＝300（人），补图如下：
故答案为：5000；
（2）“山西”所对应扇形的圆心角的度数是360°×6%＝21.6°；
（3）这5名医护工作者分别用1，2，3，4，5表示，其中王医生用1表示，李医生用2表示，根据题意画图如下：
共有20种等情况数，其中同时安排王医生和李医生的有2种，
则同时安排王医生和李医生的概率是＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21. 如图，在▱ABCD中，点E是BC上的一点，连接DE，在DE上取一点F使得∠AFE＝∠ADC．若DE＝AD，求证：DF＝CE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，根据题意得到∠AFD=∠C，根据全等三角形的判定和性质定理证明即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFD＝∠C，
在△AFD和△DEC中，
，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴DF＝CE．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22. 如图，在中，为的直径，交边于点，连接，过点作的切线，且于点
（1）求证：
（2）若的直径为5，求
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由OA=OD，则，然后证明，利用等角对等边，即可得到结论成立；
（2）连接BD，先证明，得到，设BE=x，则，结合勾股定理，即可求出x的值，然后求出.
【详解】（1）证明：，
∴，
∵DE是切线，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图：
是直径，
∴
∵是圆的切线
，
∴∠ODB=∠CDE，∠ADO=∠BDE，
，
，∠BDE=∠A=∠C，
设，
∵
∴，
在直角三角形中，
解得：或（舍去）
，
∴.
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，以及求角的正切值，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.注意数形结合，正确找出边之间的关系.
23. 为了预防新冠肺炎，某药店销售甲、乙两种防护口罩，已知甲口罩每袋的售价比乙口罩多5元，小明从该药店购买了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花费115元．
（1）求该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为多少元？
（2）根据消费者需求，药店决定用不超过8000元购进甲、乙两种口罩共400袋．已知甲口罩每袋的进价为22.2元，乙口罩每袋的进价为17.8元，要使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，并求出最大利润．
【答案】（1）该药店甲口罩每袋的售价为25元，乙口罩每袋的售价为20元；（2）使药店获利最大的方案是购进甲、乙两种口罩各200袋，可获取的最大利润为1000元．
【解析】
【分析】（1）设该店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据“甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小明从该网店网购3袋甲种口罩和2袋乙种口罩共花费115元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设药店购进甲口罩m袋，总利润为w元，根据题意得到w与m的函数关系式，依据题意得到m的取值范围，最后根据函数的增减性确定最大利润即可．
【详解】解：（1）设该药店甲口罩每袋的售价为x元，乙口罩每袋的售价为y元．
根据题意得，解得．
答：该药店甲口罩每袋的售价为25元，乙口罩每袋的售价为20元；
（2）设该药店购进甲口罩m袋，则购进乙口罩袋．
根据题意，得，
解得：．
设药店购进甲、乙两种口罩获利w元，
则．
k=0.6＞0，
随m的增大而增大，
当时，w有最大值，最大值为．
使药店获利最大的方案是购进甲、乙两种口罩各200袋，可获取的最大利润为1000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数关系式，依据题意确定自变量取值范围．
24. 如图，已知一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，n），与x轴相交于点B．
（1）求k的值以及点B的坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k的值为6，B点坐标为（，0）；（2）存在，（0，）
【解析】
【分析】（1）根据一次函数解析式，先代入y=0得到B点坐标，再利用一次函数进行确定A（2，3），然后把A点坐标代入y＝中可得到k的值；
（2）作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于P点，则B′（﹣，0），利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出直线AB′与y轴的交点坐标得到满足条件的P点坐标．
【详解】（1）当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝，
∴B点坐标为（，0），
把A（2，n）代入y＝x﹣2得：n＝×2﹣2＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
即k的值为6，B点坐标为（，0）；
（2）存在，理由如下：
作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于P点，如图，则B′（﹣，0），
∵PB′＝PB，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，
∴此时PA+PB的值最小，
设直线AB′的解析式为y＝mx+n，
把A（2，3），B′（﹣，0）代入得 ，
解得 ，
∴直线AB′的解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝x+＝，
∴满足条件的P点坐标为（0，）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式，熟练运用各知识点是解题的关键．
25. 如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，（，3），（3﹣3，12﹣6）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出点B和点C的坐标，将两点坐标代入即可得出函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式得出点M的坐标，根据OD＝m设出点P的坐标，从而得出PD的长度，再根据得出S关于m的函数解析式；再根据点P在线段MB上得出m的取值范围；
（3）分别讨论∠PDC、∠DPC和∠DCP分别是直角的的情况是否存在，如果存在，根据实际情况，利用数形结合的思想得出点P的坐标.
【详解】解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）由（1）可得函数解析式为：，
∴M（1，4）
设直线MB的解析式为y＝kx+n，将点M（1，4），点B（3，0）代入可得：
则有，
解得：，
∴直线MB的解析式为；
∵PD⊥x轴，OD＝m，
∴点P的坐标为（m，）
∴；
又∵点P为线段MB上的一个动点，且当点P与点B重合时，点P和点D重合，PCD不能构成三角形，
∴；
∴；
（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，
如图，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，
当CPAB时，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD＝OC＝3，
∴P点纵坐标为：3，代入，
得：，此时．
∴线段BM上存在点使△PCD为直角三角形．
如图，当时，△COD′∽△D′CP′，
此时CD′2＝CO•P′D′，
即，
∴
解得：，
∵，
∴，
∴P′
综上所述：P点坐标为：（，3），．
【点睛】本题考查二次函数与几何综合题型，其中第一问求函数解析式注意检验，确保正确；第二问求坐标系中三角形的面积，需注意先观察三角形中是否有平行于坐标轴的边，如果有的话就以这条边为底，设出动点坐标，用坐标将线段长度表示出来后计算，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；第三问是直角三角形的问题，可以用勾股定理，也可以利用两直线垂直的性质进行计算，注意动点所在的位置，计算出的结果要舍去不符合条件的量.
2020年山东省枣庄市山亭区中考数学一模试题
一．选择题（共12小题）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 3 D. -3
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据相反数的意义知：的相反数是.
故选A．
【考点】相反数.
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 如图，直线a∥b，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上，若∠1＝15°，则∠2的度数是（ ）
A. 45° B. 30° C. 15° D. 10°
【答案】B
【解析】
【分析】根据a∥b，得到∠1+∠3+∠4+∠2=180°，将∠1=15°，∠3=45°，∠4=90°代入即可求出∠2的度数．
【详解】如图，
∵a∥b，
∴∠1+∠3+∠4+∠2＝180°，
∵∠1＝15°，∠3＝45°，∠4＝90°，
∴∠2＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4. 实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. a＜﹣1 B. ab＞0 C. a﹣b＜0 D. a+b＜0
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用a，b在数轴上的位置，进而分别对各个选项进行分析得出答案．
【详解】选项A，从数轴上看出，a在﹣1与0之间，
∴﹣1＜a＜0，
故选项A不合题意；
选项B，从数轴上看出，a在原点左侧，b在原点右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
故选项B不合题意；
选项C，从数轴上看出，a在b的左侧，
∴a＜b，
即a﹣b＜0，
故选项C符合题意；
选项D，从数轴上看出，a在﹣1与0之间，
∴1＜b＜2，
∴|a|＜|b|，
∵a＜0，b＞0，
所以a+b＝|b|﹣|a|＞0，
故选项D不合题意．
故选C．
【点睛】本题考查数轴和有理数的四则运算，解题的关键是掌握利用数轴表示有理数的大小.
5. 在某学校汉字听写大赛中，有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前10名才能参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】可知一共有21名同学参赛，要取前10名，因此只需知道这组数据的中位数即可.
【详解】解：∵ 有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前10名才能参加决赛，
∴小颖是否能进入决赛，将21名同学的成绩从小到大排列，可知第11名同学的成绩是这组数据的中位数，
∴小颖要知道这组数据的中位数，就可知道自己是否进入决赛.
故答案为A
【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6. 截止到2020年2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金亿元，其中中央财政安排亿元，为疫情防控提供了有力保障，其中数据亿用科学记数法可表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：亿=25290000000=；
故选：C.
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7. 将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A. (，﹣1) B. (1，﹣) C. (，﹣) D. (﹣，)
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴旋转后OA与y轴夹角为45°，
∵OA=2，
∴OA′=2，
∴点A′的横坐标为2×=，
纵坐标为-2×=-，
所以，点A′的坐标为（，-）
故选C.
8. 如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵A、B是4×5网格中的格点，
∴AB=，
同理可得，AC=BD=AC=，
∴所求三角形有：△ABD，△ABC，△ABE．如图：
故选B．
考点：1.等腰三角形的判定.2.勾股定理.
9. 在平面直角坐标系中，将点称为点的“关联点”例如点是点的“关联点”如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点所在的象限为
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第一、三象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据关联点的定义即可求出该点的位置．
【详解】解：点的关联点为，
若与在同一象限，
则横纵坐标的乘积的符号必定相同且不能同号，
故该点在第二象限或第四象限，
故选C．
【点睛】本题考查新定义问题，解题的关键是正确理解新定义，本题属于中等题型．
10. 如图，在□中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于两点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在□的内部交于点；③连接并延长交于点，交的延长线于点，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到BF，BA的长，进而得到AF的长．
【详解】由题意得到，CF是∠ACD的平分线，
∴∠BCF=∠DCF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=8，
∴∠F=∠DCF，
∴∠BCF=∠F，
∴BF=BC=10，
∴AF=BF-AB=10-8=2；
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
11. 如图，菱形在第一象限内，，反比例函数图象经过点，交边于点，若的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】过A作AE⊥x轴于E，设OE=，则AE=，OA=，即菱形边长为，再根据△AOD的面积等于菱形面积的一半建立方程可求出，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解.
【详解】如图，过A作AE⊥x轴于E，
设OE=，
在Rt△AOE中，∠AOE=60°
∴AE=，OA=
∴A，菱形边长为
由图可知S菱形AOCB=2S△AOD
∴，即
∴
∴
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，利用特殊角度的三角函数值表示出菱形边长及A点坐标是解决本题的关键.
12. 已知二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，下列结论：①;②;③;④正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由对称轴为直线，开口向下，则，抛物线与x轴的另一个交点为，当时，可判断①；当时，可判断②；由，可判断③；由，代入计算，即可判断④；然后得到答案.
【详解】解：根据题意，
∵二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，
∴，抛物线与x轴的另一个交点为，，
由图可知，当时，函数图像在x轴上方，则，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线经过点，
∴当时，，故②错误；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，则，
∴，故④正确；
∴正确的选项有①③④，共3个；
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
二．填空题（共6小题）
13. 计算：_______
【答案】
【解析】
【分析】先计算零指数幂、特殊角的三角函数，即可得到答案.
【详解】解：
=
=；
故答案为：.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则.
14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
【答案】k＞且k≠1.
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故答案为k＞且k≠1．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义.
15. 长红枣是地方特产，色泽红艳，酥脆甘甜，营养丰富，有着较高的滋补和药用价值，被誉为“天然维生素丸”．某网店以a元一包的价格购进500包长红枣，加价20%卖出400包以后，剩余每包比进价降低b元后全部卖出，则可获得利润_____元．
【答案】（80a﹣100b）
【解析】
【分析】根据题意用利润=总售价-总成本可列出利润的表达式．
【详解】由题意知，（1+20%）a×400+100（a﹣b）﹣500a＝（80a﹣100b）元，
故答案是：（80a﹣100b）．
【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
16. 如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（4，4），则点G的坐标是_____．
【答案】（2，4）
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质结合矩形的性质得出OB，BG的长，即可得出答案．
【详解】∵矩形ABCD，点D的坐标为（1，2），
∴AD＝BC＝2，
∵矩形BEFG，点F的坐标为（4，4），
∴EF＝BG＝4，
∴，
∴OB＝2，
故点G的坐标是（2，4）．
故答案：（2，4）．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的长是解题关键．
17. 如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形的位置，，则阴影部分的面积为_________．
【答案】.
【解析】
【分析】先求出CE=2CD，求出∠DEC=30°，求出∠DCE=60°，DE=2，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=4，CD=AB=2，∠BCD=∠ADC=90°，
∴CE=BC=4，∴CE=2CD，∴∠DEC=30°，∴∠DCE=60°，
由勾股定理得：DE=2，
∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′﹣S△CDE=，
故答案为．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质.
18. 对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣﹣与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点之间的距离，则A2B2+…+A2019B2019的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用因式分解的方法得到交点式y=，从而得到抛物线与x轴的交点An、Bn坐标为（，0），（，0），所以AnBn=，所以A2B2+…+A2019B2019=，然后合并即可．
【详解】∵，
∴抛物线与x轴的交点An、Bn坐标为（，0），（，0），
∴AnBn＝，
∴A2B2＝，
A3B3＝，
…
A2019B2019＝，
∴A2B2+…+A2019B2019＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
三．解答题（共7小题）
19. 先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．
【答案】，-2
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求得x的范围，据此得出x的整数值，继而根据分式有意义的条件得出x的值，代入计算可得．
【详解】解：，
解不等式组得，-1≤x≤，∴不等式组的整数解为-1，0，1，2，
∵x≠±1且x≠0，
∴x=2，
将x=2代入得，
原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及解不等式组，解题的关键是掌握基本运算法则，并注意选取代入的数值一定要使原分式有意义．
20. 2020年春节前夕“新型冠状病毒”爆发．疫情就是命令，防控就是使命，全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当，舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城．如图两幅图是2月9日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．
请解答下列问题：
（1）①上述省市2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为 人；
②请将图①的条形统计图补充完整；
（2）请求出图②的扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角的度数；
（3）本次河北驰援武汉的医护工作者中，有5人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的5人中随机安排2人，求同时安排王医生和李医生的概率．
【答案】（1）①5000；②见解析；（2）21.6°；（3）
【解析】
【分析】（1）①根据辽宁的人数和所占的百分比求出2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数；
②先求出江苏、浙江和山东所占百分比，再用整体1减去各省份所占的百分比，求出山西所占的百分比，再用总人数乘以山西所占的百分比即可补全统计图；
（2）用山西所占的百分比乘以360°即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和同时安排王医生和李医生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）①2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为＝5000（人），
②江苏所占的百分比是：×100%＝19.16%；
浙江所占的百分比是：×100%＝15.94%；
山东所占的百分比是：×100%＝13.9%；
则山西所占的百分比是：1﹣19.16%﹣7%﹣6%﹣6%﹣6%﹣13.9%﹣15.94%﹣20%＝6%，
山西的人数是5000×6%＝300（人），补图如下：
故答案为：5000；
（2）“山西”所对应扇形的圆心角的度数是360°×6%＝21.6°；
（3）这5名医护工作者分别用1，2，3，4，5表示，其中王医生用1表示，李医生用2表示，根据题意画图如下：
共有20种等情况数，其中同时安排王医生和李医生的有2种，
则同时安排王医生和李医生的概率是＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21. 如图，在▱ABCD中，点E是BC上的一点，连接DE，在DE上取一点F使得∠AFE＝∠ADC．若DE＝AD，求证：DF＝CE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，根据题意得到∠AFD=∠C，根据全等三角形的判定和性质定理证明即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFD＝∠C，
在△AFD和△DEC中，
，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴DF＝CE．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22. 如图，在中，为的直径，交边于点，连接，过点作的切线，且于点
（1）求证：
（2）若的直径为5，求
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由OA=OD，则，然后证明，利用等角对等边，即可得到结论成立；
（2）连接BD，先证明，得到，设BE=x，则，结合勾股定理，即可求出x的值，然后求出.
【详解】（1）证明：，
∴，
∵DE是切线，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图：
是直径，
∴
∵是圆的切线
，
∴∠ODB=∠CDE，∠ADO=∠BDE，
，
，∠BDE=∠A=∠C，
设，
∵
∴，
在直角三角形中，
解得：或（舍去）
，
∴.
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，以及求角的正切值，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.注意数形结合，正确找出边之间的关系.
23. 为了预防新冠肺炎，某药店销售甲、乙两种防护口罩，已知甲口罩每袋的售价比乙口罩多5元，小明从该药店购买了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花费115元．
（1）求该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为多少元？
（2）根据消费者需求，药店决定用不超过8000元购进甲、乙两种口罩共400袋．已知甲口罩每袋的进价为22.2元，乙口罩每袋的进价为17.8元，要使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，并求出最大利润．
【答案】（1）该药店甲口罩每袋的售价为25元，乙口罩每袋的售价为20元；（2）使药店获利最大的方案是购进甲、乙两种口罩各200袋，可获取的最大利润为1000元．
【解析】
【分析】（1）设该店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据“甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小明从该网店网购3袋甲种口罩和2袋乙种口罩共花费115元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设药店购进甲口罩m袋，总利润为w元，根据题意得到w与m的函数关系式，依据题意得到m的取值范围，最后根据函数的增减性确定最大利润即可．
【详解】解：（1）设该药店甲口罩每袋的售价为x元，乙口罩每袋的售价为y元．
根据题意得，解得．
答：该药店甲口罩每袋的售价为25元，乙口罩每袋的售价为20元；
（2）设该药店购进甲口罩m袋，则购进乙口罩袋．
根据题意，得，
解得：．
设药店购进甲、乙两种口罩获利w元，
则．
k=0.6＞0，
随m的增大而增大，
当时，w有最大值，最大值为．
使药店获利最大的方案是购进甲、乙两种口罩各200袋，可获取的最大利润为1000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数关系式，依据题意确定自变量取值范围．
24. 如图，已知一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，n），与x轴相交于点B．
（1）求k的值以及点B的坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k的值为6，B点坐标为（，0）；（2）存在，（0，）
【解析】
【分析】（1）根据一次函数解析式，先代入y=0得到B点坐标，再利用一次函数进行确定A（2，3），然后把A点坐标代入y＝中可得到k的值；
（2）作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于P点，则B′（﹣，0），利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出直线AB′与y轴的交点坐标得到满足条件的P点坐标．
【详解】（1）当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝，
∴B点坐标为（，0），
把A（2，n）代入y＝x﹣2得：n＝×2﹣2＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
即k的值为6，B点坐标为（，0）；
（2）存在，理由如下：
作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于P点，如图，则B′（﹣，0），
∵PB′＝PB，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，
∴此时PA+PB的值最小，
设直线AB′的解析式为y＝mx+n，
把A（2，3），B′（﹣，0）代入得 ，
解得 ，
∴直线AB′的解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝x+＝，
∴满足条件的P点坐标为（0，）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式，熟练运用各知识点是解题的关键．
25. 如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，（，3），（3﹣3，12﹣6）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出点B和点C的坐标，将两点坐标代入即可得出函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式得出点M的坐标，根据OD＝m设出点P的坐标，从而得出PD的长度，再根据得出S关于m的函数解析式；再根据点P在线段MB上得出m的取值范围；
（3）分别讨论∠PDC、∠DPC和∠DCP分别是直角的的情况是否存在，如果存在，根据实际情况，利用数形结合的思想得出点P的坐标.
【详解】解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）由（1）可得函数解析式为：，
∴M（1，4）
设直线MB的解析式为y＝kx+n，将点M（1，4），点B（3，0）代入可得：
则有，
解得：，
∴直线MB的解析式为；
∵PD⊥x轴，OD＝m，
∴点P的坐标为（m，）
∴；
又∵点P为线段MB上的一个动点，且当点P与点B重合时，点P和点D重合，PCD不能构成三角形，
∴；
∴；
（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，
如图，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，
当CPAB时，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD＝OC＝3，
∴P点纵坐标为：3，代入，
得：，此时．
∴线段BM上存在点使△PCD为直角三角形．
如图，当时，△COD′∽△D′CP′，
此时CD′2＝CO•P′D′，
即，
∴
解得：，
∵，
∴，
∴P′
综上所述：P点坐标为：（，3），．
【点睛】本题考查二次函数与几何综合题型，其中第一问求函数解析式注意检验，确保正确；第二问求坐标系中三角形的面积，需注意先观察三角形中是否有平行于坐标轴的边，如果有的话就以这条边为底，设出动点坐标，用坐标将线段长度表示出来后计算，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；第三问是直角三角形的问题，可以用勾股定理，也可以利用两直线垂直的性质进行计算，注意动点所在的位置，计算出的结果要舍去不符合条件的量.
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