2021-2022学年浙教版九年级上册数学期末练习试卷(word版 含答案)
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这是一份2021-2022学年浙教版九年级上册数学期末练习试卷(word版 含答案),共24页。试卷主要包含了已知二次函数y=x2+bx+c,若关于x的一元二次方程等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年浙教新版九年级上学期数学期末练习试卷
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(﹣2,4),则b,c满足的关系式是( )
A.c=2b B.b=2c C.b=﹣2c D.c=﹣2b
2.如图,在△ABC中,点D在AB上,BD=2AD,DE∥BC,交AC于E,下列结论,正确的有( )个.
①BC=3DE;②△ADE∽△ABC;③=;④S△ADE=S△ABC.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列选项中的事件,属于必然事件的是( )
A.在一个只装有白球的袋中,摸出黄球
B.a是实数,|a|>0
C.明年元旦那天温州的最高气温是10℃
D.两个正数相加,和是正数
4.如图,△ABO∽△CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40m;
②小球运动的时间为6s;
③小球抛出3秒时,速度为0;
④当t=1.5s时,小球的高度h=30m.
其中正确的是( )
A.①④ B.①② C.②③④ D.②④
6.若关于x的一元二次方程(x﹣2)(x﹣3)=m有实数根x1、x2,且x1≠x2,有下列结论:①x1=2,x2=3 ②m③二次函数y=(x﹣x1)(x﹣x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0)其中,正确的结论是( )
A.②③ B.② C.①② D.①②③
7.如图,点A,B,C,D在圆O,AC是圆O的直径,∠CAD=26°,则∠ABD的度数为( )
A.26° B.52° C.64° D.74°
8.如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数(约为0.618),就称这个矩形为黄金矩形.若矩形ABCD为黄金矩形,宽AD=﹣1,则长AB为( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
9.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边AD上运动,点F在边CD上运动,运动过程中EF的长度保持不变,且EF=3.若M是EF的中点,P是边AB上的动点,则PC+PM的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图,已知D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点,AF为△ABD的中线,连接EF,若四边形AFEC的面积为10,且AB=8,则△ABC中AB边上高的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.无法确定
二.填空题(共6小题,满分30分,每小题5分)
11.已知===2,且b+d+f≠0,若a+c+e=12,则b+d+f= .
12.在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机地摸出一个小球不放回,再随机地摸出一个小球,则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是 .
13.如图所示,∠MON是放置在正方形网格中的一个角,则tan∠MON的值是 .
14.如图,在△ABC中,高AD与中线CE相交于点F,AD=CE=6,FD=1,则BC= .
15.已知自变量为x的二次函数y=(ax+b)(x+)经过(m,4)、(m+2,4)两点,若方程(ax+b)(x+)=0的一个根为x=3,则其另一个根为 .
16.已知△ABC与△ABD在同一平面内,点C,D不重合,∠ABC=∠ABD=30°,AB=4,AC=AD=2,则CD长为 .
三.解答题(共8小题,满分80分)
17.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx经过点A(2,0).直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式和顶点的坐标;
(2)将抛物线y=x2+bx向右平移,使平移后的抛物线经过点B,求平移后抛物线的表达式;
(3)将抛物线y=x2+bx向下平移,使平移后的抛物线交y轴于点D,交线段BC于点P、Q,(点P在点Q右侧),平移后抛物线的顶点为M,如果DP∥x轴,求∠MCP的正弦值.
18.(8分)一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球,上面分别标有数字,,5.
(1)从口袋中随机摸出一个小球,求摸出小球上的数字是无理数的概率(直接写出结果);
(2)先从口袋中随机摸出一个小球,将小球上的数字记为x,把小球放回口袋中并搅匀,再从口袋中随机摸出一个小球,将小球上的数字记为y.请用列表法或画树状图法求出x与y的乘积是有理数的概率.
19.(8分)如图,AB为⊙O的直径,C,D为圆上的两点,OC∥BD,弦AD,CO相交于点E.
(1)求证:=;
(2)若AD=16,CE=4,求⊙O的半径.
20.(8分)如图,一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向,距离小岛80nmile的点A处,它沿着点A的南偏东15°方向航行.
(1)渔船航行多远与小岛B的距离最近?(结果保留根号)
(2)渔船到达距离小岛B最近点后,按原航向继续航行40nmile到点C处时突然发生事故,渔船马上向小岛B上的救援队求救,问:救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是多少?(结果保留根号)
21.(10分)我市为开发沿黄流域小白河渔业资源,鼓励养殖户开展混合养殖,现公布如下政策:①每亩水面年租金为500元;②每亩水面可在年初混合投放4公斤甲种鱼和20公斤乙种鱼:经市场调查发现:每公斤甲种鱼的价格为75元,每公斤甲种鱼的饲养费用为525元,每公斤甲种鱼当年可获1400元收益;每公斤乙种鱼的价格为15元,每公斤乙种鱼的饲养费用为85元,每公斤乙种鱼当年可获160元收益.
(1)某养殖户现有资金25000元,他准备再向银行贷款,用于甲乙鱼混合养殖,已知银行贷款的年利率为10%,试问该养殖户至少应租多少亩水面,并至少向银行贷款多少元,可使年利润不少于36600元?
(2)为了节省材料该养殖户利用河岸的一角∠MON(∠MON=135°)的两边为边,用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域,其中区域①为直角三角形,区域②③为矩形,而且四边形OBDG为直角梯形.
I.若①②③这块区域的面积相等,则OB的长为米;
II.设OB=x(m),四边形OBDG的面积为y(m2),求y与x之的函数关系式,并说明x为何值时,y有最大值?最大值是多少?
22.(12分)如图,在⊙O中,半径OC过弦AB的中点E,OC=2,OE=.
(1)求弦AB的长;
(2)求∠CAB的度数.
23.(12分)如图1,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,过C作CD∥AB,CD交⊙O于D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.
(1)求证:AF是⊙O的切线;
(2)求证:AB2﹣BE2=BE•EC;
(3)如图2,若点G是△ACD的内心,BC•BE=64,求BG的长.
24.(14分)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P在直线BC下方的抛物线上,连接AP交BC于点M,当最大时,求点P的坐标及的最大值;
(3)在(2)的条件下,过点P作x轴的垂线l,在l上是否存在点D,使△BCD是直角三角形,若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.解:将(﹣2,4)代入y=x2+bx+c得:4=4﹣2b+c,
∴c=2b,
故选:A.
2.解:∵BD=2AD,AB=AD+BD,
∴AB=3AD.
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴===3,=()2=9,
∴BC=3DE,AC=3AE,S△ADE=S△ABC,
∴BD=AB﹣AD=AB,CE=AC﹣AE=AC,
∴=.
综上结论①②③正确.
故选:C.
3.解:A、在一个只装有白球的袋中,摸出黄球,是不可能事件,故本选项不符合题意;
B、a是实数,|a|>0,是随机事件,故本选项不符合题意;
C、明年元旦那天温州的最高气温是10℃,是随机事件,故本选项不符合题意;
D、两个正数相加,和是正数,是必然事件,故本选项符合题意;
故选:D.
4.解:∵△ABO∽△CDO,
∴=,
∵BO=6,DO=3,CD=2,
∴=,
解得:AB=4.
故选:C.
5.解:①由图象可知,小球在空中达到的最大高度为40m,则小球在空中经过的路程一定大于40m,故①错误;
②由图象可知,小球6s时落地,故小球运动的时间为6s,故②正确;
③小球抛出3秒时达到最高点,即速度为0,故③正确;
④设函数解析式为h=a(t﹣3)2+40,将(0,0)代入得:
0=a(0﹣3)2+40,
解得a=﹣,
∴函数解析式为h=﹣(t﹣3)2+40,
∴当t=1.5s时,h=﹣(1.5﹣3)2+40=30,
∴④正确.
综上,正确的有②③④.
故选:C.
6.解:一元二次方程(x﹣2)(x﹣3)=m化为一般形式得:x2﹣5x+6﹣m=0,
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2,
∴b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4(6﹣m)=4m+1>0,
解得:m>﹣,故选项②正确;
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2,
∴x1+x2=5,x1x2=6﹣m,
而选项①中x1=2,x2=3,只有在m=0时才能成立,故选项①错误;
二次函数y=(x﹣x1)(x﹣x2)+m=x2﹣(x1+x2)x+x1x2+m=x2﹣5x+(6﹣m)+m=x2﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3),
令y=0,可得(x﹣2)(x﹣3)=0,
解得:x=2或3,
∴抛物线与x轴的交点为(2,0)或(3,0),故选项③正确.
故选:A.
7.解:∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD=90°﹣∠CAD=90°﹣26°=64°,
∴∠ABD=∠ACD=64°.
故选:C.
8.解:∵矩形ABCD是黄金矩形,
∴,
∴,
∴AB=2,
故选:C.
9.解:作点C关于AD的对称点T,连接TM交AD于P,连接BT,BM.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=4,∠ABC=∠BCD=90°,
∵C,T关于AD对称,
∴CD=DT=4,
∴CT=8,
∴BT===4,
∵∠EBF=90°,EM=MF,
∴BM=EF=.
∵BM+MT≥BT,
∴TM≥4﹣,
∵PM+PC=PM+PT=MT,
∴PM+PC≥4﹣,
∴PM+PC≥4﹣,
∴PM+PC的最小值为4﹣.
故选:A.
10.解:连接DE,
设S△DEF=x,
∵D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点,AF为△ABD的中线,
∴S△BDE=2S△DEF=2x,
∴S△CDE=S△BDE=2x,
∴S△ABD=S△BCD=4x,
∴S△ADF=2x,
∴四边形AFEC的面积=2x+3x=5x=10,
∴x=2,
∴△ABC的面积=8x=16,
△ABC中AB边上高的长为16×2÷8=4.
故选:B.
二.填空题(共6小题,满分30分,每小题5分)
11.解:∵===2,
∴a=2b,c=2d,e=2f,
∵a+c+e=12,
∴2b+2d+2f=12,
等式两边都除以2,得b+d+f=6,
故答案为:6.
12.解:画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8,
所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率==.
故答案为.
13.解:如图,连接AB,
∵AB2=12+32=10,AO2=12+32=10,BO2=22+42=20,
∴AB2+AO2=BO2,
∴△ABO是等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
∴tan∠MON=1,
故答案为1.
14.解:取AD的中点G,连接EG,如右图所示,
∵CE是△ABC的中线,点G为AD的中点,AD=6,
∴EG是△ABD的中位线,AG=GD=3,
∴EG∥BD,EG=BD,
∴△EGF∽△CDF,
∴=,
∵FD=1,GD=3,CE=EF+CF=6,
∴GF=2,
∴==,
∴EF=4,CF=2,EG=2CD,
∵AD⊥BC,
∴CD===,
∴EG=2CD=2,
∴BD=2EG=4,
∴BC=BD+CD=4+=5,
故答案为:5.
15.解:∵二次函数y=(ax+b)(x+)经过(m,4)、(m+2,4)两点,
∴对称轴为直线x==m+1,对称轴与x轴交点为(m+1,0),
∵若方程(ax+b)(x+)=0的一个根为x=3,
∴二次函数y=(ax+b)(x+)图象与x轴一个交点坐标是(3,0),
而(3,0)关于对称轴直线x=m+1的对称点为(2m﹣1,0),
∴方程(ax+b)(x+)=0的另一个根为x=2m﹣1,
故答案为:2m﹣1.
16.解:如图,当C,D同侧时,过点A作AE⊥CD于E.
在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=4,∠ABE=30°,
∴AE=AB=2,
∵AD=AC=2,
∴DE==2,EC==2,
∴DE=EC=AE,
∴△ADC是等腰直角三角形,
∴CD=4,
当C,D异侧时,过C′作C′H⊥CD于H,
∵△BCC′是等边三角形,BC=BE﹣EC=2﹣2,
∴CH=BH=﹣1,C′H=CH=3﹣,
在Rt△DC′H中,DC′===2,
∵△DBD′是等边三角形,
∴DD′=2+2,
∴CD的长为2±2或4或2.
故答案为:2±2或4或2.
三.解答题(共8小题,满分80分)
17.解:(1)由题意,抛物线y=x2+bx经过点A(2,0),
得0=4+2b,解得 b=﹣2,
∴抛物线的表达式是y=x2﹣2x.
∵y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,
∴它的顶点的坐标是(1,﹣1).
(2)∵直线与x轴交于点B,
∴点B的坐标是(4,0).
①将抛物线y=x2﹣2x向右平移2个单位,使得点A与点B重合,
此时平移后的抛物线表达式是y=(x﹣3)2﹣1.
②将抛物线y=x2﹣2x向右平移4个单位,使得点O与点B重合,
此时平移后的抛物线表达式是y=(x﹣5)2﹣1.
(3)如图,设向下平移后的抛物线表达式是:y=x2﹣2x+n,得点D(0,n).
∵DP∥x轴,
∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x=1对称,
∴P(2,n).
∵点P在直线BC上,
∴.
∴平移后的抛物线表达式是:y=x2﹣2x﹣1.
∴新抛物线的顶点M的坐标是(1,﹣2).
∴MC∥OB,
∴∠MCP=∠OBC.
在Rt△OBC中,,
由题意得:OC=2,,
∴.
即∠MCP的正弦值是.
18.解:(1)摸出小球上的数字是无理数的概率=;
(2)画树状图如下:
可知:共有9种等可能的结果,其中两个数字的乘积为有理数的有3种,
∴两次摸出的小球所标数字乘积是有理数的概率为=.
19.解:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵OC∥BD,
∴∠AEO=∠ADB=90°.
∴OC⊥AD,
∴=;
(2)由(1)可知OC⊥AD,
又∵AD=16,
∴.
设⊙O的半径为r,
∵CE=4,
∴OE=r﹣4,
由勾股定理得:82+(r﹣4)2=r2,
∴r=10,
∴⊙O的半径为10.
20.解:(1)过点B作BM⊥AC于点M,如图所示:
由题意,知∠BAM=45°,则∠ABM=45°.
在Rt△ABM中,∠BAM=45°,AB=80nmile,
∴△ABM是等腰直角三角形,
∴BM=AM=AB=40(nmile)
答:渔船航行40nmile与小岛B的距离最近.
(2)∵BM=40nmile,MC=40nmile,
∴,
∴∠MBC=60°,
∴∠CBG=180°﹣60°﹣45°﹣30°=45°,
在Rt△BCM中,∠MBC=60°,
∴∠BCM=30°,
∴BC=2BM=80(nmile),
答:救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是80nmile.
21.解:(1)∵苗种费用=75×4+15×20=300+300=600(元),
饲养费=525×4+85×20=2100+1700=3800(元),
成本=500+600+3800=4900(元),
收益1400×4+160×20=5600+3200=8800(元),
利润(每亩的年利润)=8800﹣4900=3900(元),
∴设该养殖户应租x亩水面.
根据题意列出不等式:3900x﹣(4900x﹣25000)×10%≥36600,
解得:x≥10.
则该养殖户至少应租10亩水面,至少向银行贷款4900×10﹣25000=24000元
答:该养殖户至少应租10亩水面,至少向银行贷款24000元.
(2)I.由题意可知,∠MON=135°,∠EOB=∠D=∠DBO=90°,
∴∠EGO=∠EOG=45°,
∴EG=EO=DB,DE=FC=OB,
设OB=CF=DE=x,
则,
∵①②③这块区域的面积相等,
∴,
∴x=24或x=60(舍弃),
∴BO=24(m).
答:当①②③这块区域的面积相等时OB长24米.
II.四边形OBDG的面积为,
整理得,
∵,
∵,
∴当x=15时,y有最大值,最大值为900.
22.解:(1)连接OB,如图所示:
∵半径OC过弦AB的中点E,
∴OC⊥AB,AE=BE,OB=OC=2,
∴BE===,
∴AB=2BE=2;
(2)由(1)得:BE=OE,OC⊥AB,
∴△BOE是等腰直角三角形,
∴∠BOC=45°,
∴∠CAB=∠BOC=22.5°.
23.解:(1)如图1,连接OA,
∵AB=AC,
∴=,∠ACB=∠B,
∴OA⊥BC,
∵CA=CF,
∴∠CAF=∠CFA,
∵CD∥AB,
∴∠BCD=∠B,
∴∠ACB=∠BCD,
∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF,
∵∠ACB=∠BCD,
∴∠ACD=2∠ACB,
∴∠CAF=∠ACB,
∴AF∥BC,
∴OA⊥AF,
∴AF为⊙O的切线;
(2)∵∠BAD=∠BCD=∠ACB,∠B=∠B,
∴△ABE∽△CBA,
∴,
∴AB2=BC•BE=BE(BE+CE)=BE2+BE•CE,
∴AB2﹣BE2=BE•EC;
(3)由(2)知:AB2=BC•BE,
∵BC•BE=64,
∴AB=8,
如图2,连接AG,
∴∠BAG=∠BAD+∠DAG,∠BGA=∠GAC+∠ACB,
∵点G为内心,
∴∠DAG=∠GAC,
又∵∠BAD=∠ACB,
∴∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB,
∴∠BAG=∠BGA,
∴BG=AB=8.
24.解:(1)将点A(﹣2,0)、B(6,0)、C(0,﹣3)代入y=ax2+bx+c,
得,
解得,
∴y=x2﹣x﹣3;
(2)如图1,过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E,过P作PF⊥x轴交直线BC于点F,
∴PF∥AE,
∴=,
设直线BC的解析式为y=kx+d,
∴,
∴,
∴y=x﹣3,
设P(t, t2﹣t﹣3),则F(t, t﹣3),
∴PF=t﹣3﹣t2+t+3=﹣t2+t,
∵A(﹣2,0),
∴E(﹣2,﹣4),
∴AE=4,
∴===﹣t2+t=﹣(t﹣3)2+,
∴当t=3时,有最大值,
∴P(3,﹣);
(3)∵P(3,﹣),D点在l上,
如图2,当∠CBD=90°时,
过点B作GH⊥x轴,过点D作DG⊥y轴,DG与GH交于点G,过点C作CH⊥y轴,CH与GH交于点H,
∴∠DBG+∠GDB=90°,∠DBG+∠CBH=90°,
∴∠GDB=∠CBH,
∴△DBG∽△BCH,
∴=,即=,
∴BG=6,
∴D(3,6);
如图3,当∠BCD=90°时,
过点D作DK⊥y轴交于点K,
∵∠KCD+∠OCB=90°,∠KCD+∠CDK=90°,
∴∠CDK=∠OCB,
∴△OBC∽△KCD,
∴=,即=,
∴KC=6,
∴D(3,﹣9);
如图4,当∠BDC=90°时,
线段BC的中点T(3,﹣),BC=3,
设D(3,m),
∵DT=BC,
∴|m+|=,
∴m=﹣或m=﹣﹣,
∴D(3,﹣)或D(3,﹣﹣);
综上所述:△BCD是直角三角形时,D点坐标为(3,6)或(3,﹣9)或(3,﹣﹣)或(3,﹣).
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