人教版九年级（上）期末数学试卷1

这是一份人教版九年级（上）期末数学试卷1，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列x的值能使二次根式有意义的是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
2．（4分）若＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第50页”，这个事件是（ ）
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．确定事件
5．（4分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6
6．（4分）若△ABC∽△AB'C，且面积比为4：9，则其对应边上的高的比为（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，点G是△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则DG与GE的关系为（ ）
A．DG＝GEB．DG＞GEC．DG＜GED．DG＝GE
8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列选项正确的是（ ）
A．sinA+sinB＜1B．sinA+sinB＞1
C．sinA+sinB＝1D．sinA+sinB≤1
9．（4分）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步而见木？”大意是：今有正方形小城ABCD的边长BC为200步，如图，各边中点分别开一城门，走东门E15步外有树Q．问出南门F多少步能见到树Q（即求点F到点P的距离）（注：步古代的计量单位）答（ ）
A．366步B．466步C．566步D．666步
10．（4分）已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为（ ）
A．﹣4B．8C．﹣4或﹣8D．4或﹣8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置
11．（4分）计算：2cs45°＝ ．
12．（4分）一元二次方程x2﹣16＝0的解是 ．
13．（4分）已知斜坡AB的坡度i＝1：，则斜坡AB的坡角是 度．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C是以点C为位似中心的位似图形，则其相似比是 ．
15．（4分）将一副直角三角尺按如图所示放置，∠A＝60°，∠CBD＝45°，AC＝2，则BD的长为 ．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以AC为边作正△ACD，直线CD与直线AB相交于点E，则＝ ．
三、解答题（本题共9小题，共86分，把答案填在答题卡的相应位置)
17．（8分）计算：×﹣+（+1）（﹣1）．
18．（8分）解方程：2x2﹣5x﹣2＝0．
19．（8分）如图所示，一幅长与宽之比为4：1的矩形山水画，欲在其周围镶上一圈宽度为1dm的边框，经测算，镶边后的图画（含白纸边框）的面积为504dm2，求原矩形山水画的面积．
20．（8分）如图是某动车站出口处自动扶梯示意图，自动扶梯AB的倾斜角为31°，在自动扶梯下方地面外测得扶梯顶端A的仰角为62°，B、D之间的距离为6m．求自动扶梯的垂直高度AC．（sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin62°≈0.88，cs62°≈0.47，tan62°≈1.88，精确到0.1m）
21．（8分）如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上．
（1）请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA；
（2）试证明上述结论：△ABD∽△CBA．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）＝0．
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m的取值范围．
23．（10分）在数轴上有一动点M，其平移的方向和距离由以下规则决定：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“5”、“﹣3”、“﹣3”，它们除数字不同外没有任何区别．试验者先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，并将两球标注的数字之和m作为本次试验的结果．当m＞0时，动点M沿数轴正方向平移m个单位；当m＜0时，动点M沿数轴负方向平移|m|个单位．
（1）试用画树状图或列表法，求每次试验时动点M平移的方向为数轴正方向的概率；
（2）若动点M从原点出发，按以上规则连续平移，且以每次平移结束的位置作为下一次平移的起始位置．当试验次数足够多时，请以试验结果m的平均数为依据判断：动点M更可能位于原点的左侧或右侧？并说明理由．
24．（13分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为AB的中点，点D在线段OB上（BD＜OD），连接CD，将△BCD绕点C逆时针旋转得到△BCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接BB′、B′D．
（1）求AB的长；
（2）如图，当点D′恰好落在y轴上时，B′C交y轴于点E，求证：△BEB′∽△CED′；
（3）当点D的坐标为（0，3），且∠ODB′＝∠OBA时，求点B′的坐标．
25．（13分）如图，在△ABC中，AB＝3，点E、D分别是AB边上的三等分点，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一个动点，连接PE、EC，作△EPC关于AC的轴对称图形△FPC．
（1）当PE∥BC时，求的值；
（2）当F、P、B三点共线时，求证：AP•AC＝3；
（3）当CD＝2，且AP＞PC时，线段PE的中垂线GQ分别交线段PE、CD于点G、Q，连接PQ、EQ，求线段PQ的最小值．
2020-2021学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
1．（4分）下列x的值能使二次根式有意义的是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故x的值可以为1，
故选：D．
2．（4分）若＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设a＝3k，b＝2k，
则
＝
＝
＝，
故选：A．
3．（4分）与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：的被开方数是2．
A、＝，是有理数，不是二次根式，故本选项错误；
B、＝，被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项正确；
C、＝2，2是有理数，不是二次根式，故本选项错误；
D、被开方数是6，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
故选：B．
4．（4分）“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第50页”，这个事件是（ ）
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．确定事件
【解答】解：“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第50页”，这个事件是随机事件，
故选：B．
5．（4分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6
【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，
配方得（x﹣2）2＝2．
故选：A．
6．（4分）若△ABC∽△AB'C，且面积比为4：9，则其对应边上的高的比为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴相似比是2：3，
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为2：3．
故选：C．
7．（4分）如图，点G是△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则DG与GE的关系为（ ）
A．DG＝GEB．DG＞GEC．DG＜GED．DG＝GE
【解答】解：连接AG并延长交BC于F，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AF为BC边上的中线，即BF＝CF，
∵DG∥BF，
∴＝，
∵GE∥CF，
∴＝，
∴DG＝GE．
故选：A．
8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列选项正确的是（ ）
A．sinA+sinB＜1B．sinA+sinB＞1
C．sinA+sinB＝1D．sinA+sinB≤1
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinA＝，sinB＝，
∴sinA+sinB＝+＝，
又∵a+b＞c，
∴＞1，
即sinA+sinB＞1，
故选：B．
9．（4分）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步而见木？”大意是：今有正方形小城ABCD的边长BC为200步，如图，各边中点分别开一城门，走东门E15步外有树Q．问出南门F多少步能见到树Q（即求点F到点P的距离）（注：步古代的计量单位）答（ ）
A．366步B．466步C．566步D．666步
【解答】解：CE＝100，CF＝100，EQ＝15，
∵QE∥CF，
∴∠PCF＝∠Q，
而∠PFC＝∠QEC，
∴△PCF∽△CQE，
∴＝，
即＝，
∴PF＝666（步）；
答：出南门F666步能见到树Q，
故选：D．
10．（4分）已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为（ ）
A．﹣4B．8C．﹣4或﹣8D．4或﹣8
【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，
∴a+b＝6．
又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，
∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．
当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；
当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置
11．（4分）计算：2cs45°＝ ．
【解答】解：原式＝2×
＝．
故答案为：．
12．（4分）一元二次方程x2﹣16＝0的解是 x1＝﹣4，x2＝4 ．
【解答】解：方程变形得：x2＝16，
开方得：x＝±4，
解得：x1＝﹣4，x2＝4．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝4
13．（4分）已知斜坡AB的坡度i＝1：，则斜坡AB的坡角是 30 度．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，tanC＝＝＝，
∴∠C＝30°
故答案为30．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C是以点C为位似中心的位似图形，则其相似比是 2：1 ．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C是以点C为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A1B1C，相似比为AB：A1B1＝2：＝2：1．
故答案为2：1．
15．（4分）将一副直角三角尺按如图所示放置，∠A＝60°，∠CBD＝45°，AC＝2，则BD的长为 ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴BC＝，
∵∠D＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝，
故答案为．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以AC为边作正△ACD，直线CD与直线AB相交于点E，则＝ ±1 ．
【解答】解：如图，当点D在AC的上方时，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于F．设AC＝BC＝m，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠EBF＝45°，
∵EF⊥BF，
∴BF＝EF，
设BF＝EF＝n，则BE＝n，
∵△ADC是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ECF＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴CF＝EF，
∴m+n＝n，
∴＝﹣1，
∵AB＝m，
∴＝＝﹣1．
当点D′在AC的下方时，过点E′作E′k⊥BC于K．
设BK＝KE′＝x，则BE′＝x，
∵∠ACD′＝60°，
∴∠KCE′＝30°，
∴CK＝KE′，
∴m﹣x＝x，
∴＝+1，
∴＝＝+1，
综上所述，的值为±1．
故答案为：±1．
三、解答题（本题共9小题，共86分，把答案填在答题卡的相应位置)
17．（8分）计算：×﹣+（+1）（﹣1）．
【解答】解：原式＝﹣+3﹣1
＝4﹣2+2
＝2+2．
18．（8分）解方程：2x2﹣5x﹣2＝0．
【解答】解：2x2﹣5x﹣2＝0，
∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣2，
∴x＝＝＝．
即x＝．
19．（8分）如图所示，一幅长与宽之比为4：1的矩形山水画，欲在其周围镶上一圈宽度为1dm的边框，经测算，镶边后的图画（含白纸边框）的面积为504dm2，求原矩形山水画的面积．
【解答】解：设原矩形山水画的宽为xdm，则长为4xdm，
依题意得：（4x+2）（x+2）＝504，
整理得：2x2+5x﹣250＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣（不合题意，舍去），
∴x•4x＝10×4×10＝400（dm2）．
答：原矩形山水画的面积为400dm2．
20．（8分）如图是某动车站出口处自动扶梯示意图，自动扶梯AB的倾斜角为31°，在自动扶梯下方地面外测得扶梯顶端A的仰角为62°，B、D之间的距离为6m．求自动扶梯的垂直高度AC．（sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin62°≈0.88，cs62°≈0.47，tan62°≈1.88，精确到0.1m）
【解答】解：∵∠ADC是△ADB的外角，
∴∠ADC＝∠ABC+∠DAB，
∵∠ADC＝62°，∠ABC＝31°，
∴∠DAB＝∠ADC﹣∠ABC＝62°﹣31°＝31°，
∴∠ABC＝∠DAB，
∴AD＝DB＝6（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝62°，
∴sin∠ADC＝，
∴sin62°＝，
∴AC＝6×sin62°≈6×0.88＝5.28≈5.3（m）．
答：自动扶梯的垂直高度AC约为5.3m．
21．（8分）如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上．
（1）请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA；
（2）试证明上述结论：△ABD∽△CBA．
【解答】解：（1）如图，点D是所求作的点，
（2）证明：∵AB＝＝，BC＝5，BD＝1，
∴，，
∴，
∵∠DBA＝∠ABC，
∴△ABD∽△CBA．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）＝0．
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知，△＝[﹣（m+2）]2﹣4×3（m﹣1）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，
∴方程x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）＝0有两个实数根；
（2）由题意知，x＝＝
【注：用因式分解法解方程：分解为（x﹣3）（x﹣m+1）＝0】，
∴x1＝m﹣1，x2＝3，
∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，
∴m﹣1＜0，
∴m＜1．
23．（10分）在数轴上有一动点M，其平移的方向和距离由以下规则决定：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“5”、“﹣3”、“﹣3”，它们除数字不同外没有任何区别．试验者先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，并将两球标注的数字之和m作为本次试验的结果．当m＞0时，动点M沿数轴正方向平移m个单位；当m＜0时，动点M沿数轴负方向平移|m|个单位．
（1）试用画树状图或列表法，求每次试验时动点M平移的方向为数轴正方向的概率；
（2）若动点M从原点出发，按以上规则连续平移，且以每次平移结束的位置作为下一次平移的起始位置．当试验次数足够多时，请以试验结果m的平均数为依据判断：动点M更可能位于原点的左侧或右侧？并说明理由．
【解答】解：（1）列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中每次试验时动点M平移的方向为数轴正方向的有5种结果，
所以每次试验时动点M平移的方向为数轴正方向的概率为；
（2）动点M位于原点左侧的可能性更大，理由如下：
由（1）得P（m＝10）＝，P（m＝2）＝，P（m＝﹣6）＝，
∴m的平均值为10×+2×+（﹣6）×＝﹣，
∴当试验次数足够多时，动点M更可能位于数轴负方向个单位处，即动点M位于原点左侧的可能性更大．
24．（13分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为AB的中点，点D在线段OB上（BD＜OD），连接CD，将△BCD绕点C逆时针旋转得到△BCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接BB′、B′D．
（1）求AB的长；
（2）如图，当点D′恰好落在y轴上时，B′C交y轴于点E，求证：△BEB′∽△CED′；
（3）当点D的坐标为（0，3），且∠ODB′＝∠OBA时，求点B′的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，4），
即OA＝2，OB＝4，
∴AB＝＝＝2；
（2）如图1，
由旋转的性质可得∠CBD＝∠CB'D'，
又∵∠BEC＝∠B'ED'，
∴△BEC∽△B'ED'，
∴＝，
∴＝，
又∵∠BEB'＝∠CED'，
∴△BEB'∽△CED'；
（3）∵C为AB的中点，
∴BC＝B'C＝AB＝，C（1，2），
设B'（a，b），
①当B'在y轴左侧时，如图2，此时a＜0，
过点B'作B'M⊥y轴于点M，过点C作CN⊥B'M，交B'M的延长线于点N，
∵∠ODB'＝∠OBA，
∴tan∠ODB'＝tan∠OBA，
∴＝＝，
∴＝，
∴b＝3+2a，①
∵C（1，2），B'（a，b），
∴B'N＝1﹣a，CN＝|2﹣b|，
由勾股定理，得B'N2+CN2＝B'C2，
即（1﹣a）2+（2﹣b）2＝（）2，②
联立①②，解得或，
∵a＜0，
∴B'（﹣1，1）；
②当B'在y轴右侧时，如图3，此时a＞0，
过点B'作B'M⊥y轴于点M，过点C作CN⊥B'M于点N，
同理可得：＝＝，
∴＝，
∴b＝3﹣2a，①
∵C（1，2），B'（a，b），
∴B'N＝a﹣1，CN＝|2﹣b|，
由勾股定理，得B'N2+CN2＝B'C2，
即（a﹣1）2+（2﹣b）2＝（）2，②
联立①②，解得或，
∵a＞0，
∴B'（，）；
综上，B′的坐标为（﹣1，1）或（，）．
25．（13分）如图，在△ABC中，AB＝3，点E、D分别是AB边上的三等分点，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一个动点，连接PE、EC，作△EPC关于AC的轴对称图形△FPC．
（1）当PE∥BC时，求的值；
（2）当F、P、B三点共线时，求证：AP•AC＝3；
（3）当CD＝2，且AP＞PC时，线段PE的中垂线GQ分别交线段PE、CD于点G、Q，连接PQ、EQ，求线段PQ的最小值．
【解答】解：（1）∵PE∥BC，
∴，
∵点E，点D分别是AB上的三等分点，
∴；
（2）如图1，设CE与BF的交点为I，
∵CD⊥AB，点D是BE的中点，
∴CB＝CE，
∴∠CBD＝∠CED，
∵△EPC与△FPC关于AC对称，
∴CE＝CF，∠CEP＝∠CFP，∠EPA＝∠FPA＝∠CPB，
又∵CB＝CE，
∴CB＝CF，
∴∠CFP＝∠CBF＝∠CEP，
又∵∠PIE＝∠CIB，
∴∠EPB＝∠BCE，
设∠EPB＝∠BCE＝α，
∴∠EPA＝，∠CBE＝，
∴∠EPA＝∠CBE，
又∵∠PAE＝∠BAC，
∴∠PAE∽△BAC，
∴，
∴AP•AC＝AB•AE，
∵AB＝3，AE＝1，
∴AP•AC＝3；
（3）如图2，过点P作PT⊥AB于点T，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥CD于点N，
又∵AD⊥CD，
∴四边形GNDM是矩形，
∴GN＝MD，GM＝DN，
∵AD＝CD，AD⊥CD，
∴∠A＝45°，
设AP＝x，则PT＝x＝AT，
∵点G是PE的中点，
∴GM＝PT＝x，
∴EM＝ET＝（AT﹣AE）＝（x﹣1）＝x﹣，
∴GN＝MD＝ED﹣EM＝1﹣＝1﹣＝﹣x，
∵∠EGM+∠MGQ＝90°，∠QGN+∠MGQ＝90°，
∴∠EGM＝∠QGN，
又∵∠EMG＝∠QNG＝90°，
∴△GEM∽△GQN，
∴，
∴＝，
∴QN＝2﹣x，
∴QD＝ND﹣NQ＝GM﹣NQ＝x﹣（2﹣x）＝（x+）﹣2＝（）2+﹣2，
∴当＝，即x＝时，QD的最小值为﹣2，
∵GQ垂直平分PE，
∴PQ＝EQ，
∴PQ的最小值＝EQ的最小值＝＝＝＝2﹣．
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日期：2021/12/10 21:05:29；用户：教师17；邮箱：zybang17@xyh.cm；学号：389155525
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