2018年湖南省娄底市中考数学试卷及解析答案

这是一份2018年湖南省娄底市中考数学试卷及解析答案，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018年湖南省娄底市中考数学试卷
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（3.00分）（2018•娄底）2018的相反数是（　　）
A． B．2018 C．﹣2018 D．﹣
2．（3.00分）（2018•娄底）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（　　）
A．﹣3 B．2 C．0 D．1
3．（3.00分）（2018•娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（　　）
A．0.21×107 B．2.1×106 C．21×105 D．2.1×107
4．（3.00分）（2018•娄底）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a5=a10 B．（3a3）2=6a6
C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6
5．（3.00分）（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
6．（3.00分）（2018•娄底）不等式组的最小整数解是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（3.00分）（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C．
D．
8．（3.00分）（2018•娄底）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3
9．（3.00分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（　　）
A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2
10．（3.00分）（2018•娄底）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
11．（3.00分）（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣
12．（3.00分）（2018•娄底）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（　　）
A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k） D．f（k）=0或1
　
二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3.00分）（2018•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为　 　．

14．（3.00分）（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1　 　S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）

15．（3.00分）（2018•娄底）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为　 　．
16．（3.00分）（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=　 　cm．

17．（3.00分）（2018•娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=　 　．

18．（3.00分）（2018•娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2018=　 　．
　
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6.00分）（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．
20．（6.00分）（2018•娄底）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．
　
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8.00分）（2018•娄底）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）求样本容量；
（2）补全条形图，并填空：n=　 　；
（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？
22．（8.00分）（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．

　
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9.00分）（2018•娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．
（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；
（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？
24．（9.00分）（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

　
六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10.00分）（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．
（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；
（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；
（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．

26．（10.00分）（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．

　

2018年湖南省娄底市中考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．（3.00分）（2018•娄底）2018的相反数是（　　）
A． B．2018 C．﹣2018 D．﹣
【考点】14：相反数．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
　
2．（3.00分）（2018•娄底）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（　　）
A．﹣3 B．2 C．0 D．1
【考点】W5：众数．菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．
【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，
所以众数为2，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．
　
3．（3.00分）（2018•娄底）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（　　）
A．0.21×107 B．2.1×106 C．21×105 D．2.1×107
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】511：实数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：210万=2.1×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
4．（3.00分）（2018•娄底）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a5=a10 B．（3a3）2=6a6
C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6
【考点】4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；512：整式．
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；
B、原式=9a6，不符合题意；
C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
5．（3.00分）（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
　
6．（3.00分）（2018•娄底）不等式组的最小整数解是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，
解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
所以不等式组的最小整数解为0，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
　
7．（3.00分）（2018•娄底）如图所示立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C．
D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
　
8．（3.00分）（2018•娄底）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3
【考点】E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥2且x≠3．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
　
9．（3.00分）（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（　　）
A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【专题】46 ：几何变换．
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．
化简，得
y=2x﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
　
10．（3.00分）（2018•娄底）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
【考点】R2：旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，易得AC=2CH=2x，细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，利用水的体积不变得到x•S+x•2S=6•S+6•S，然后求出x后计算出AC即可．
【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，
∵∠BAH=90°﹣60°=30°，
∴AC=2CH=2x，
∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，
∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，
∴AC=2x=8，
即AB中水柱的长度约为8cm．
故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
　
11．（3.00分）（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】KR：勾股定理的证明；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型．
【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．
【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即AC2+（7+AC）2=132，
整理得，AC2+7AC﹣60=0，
解得AC=5，AC=﹣12（舍去），
∴BC==12，
∴sinα==，cosα==，
∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，
故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．
　
12．（3.00分）（2018•娄底）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（　　）
A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k） D．f（k）=0或1
【考点】CB：解一元一次不等式组；E5：函数值．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；
f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f（k），故选项B正确；
C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；
D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的结论是否成立．
　
二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3.00分）（2018•娄底）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为　1　．

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型．
【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案．
【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，
∴△POA的面积为：AO•PA=xy=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出△POA的面积是解题关键．
　
14．（3.00分）（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1　＜　S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）

【考点】K6：三角形三边关系；KF：角平分线的性质；MI：三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【专题】552：三角形；559：圆的有关概念及性质．
【分析】过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解．
【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，
∵P是△ABC的内心，
∴PD=PE=PF，
∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故答案为：＜．

【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF．
　
15．（3.00分）（2018•娄底）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为　　．
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选修地理和生物的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，
所以选修地理和生物的概率为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
16．（3.00分）（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=　6　cm．

【考点】K3：三角形的面积；KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型．
【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，又S△ABC=AC•BF，将AC=AB代入即可求出BF．
【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，
∵S△ABC=AC•BF，
∴AC•BF=3AB，
∵AC=AB，
∴BF=3，
∴BF=6．
故答案为6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．
　
17．（3.00分）（2018•娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=　1　．

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】559：圆的有关概念及性质．
【分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得=，推出AE•BE=OE2=1．
【解答】解：如图连接OE．

∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，
∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠EAO=∠EOB，
∵∠AEO=∠OEB=90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴=，
∴AE•BE=OE2=1，
故答案为1．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
　
18．（3.00分）（2018•娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2018=　4035　．
【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型．
【分析】由4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，可得（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+4an=（an+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出an+1=an+2，根据a1=1，分别求出
a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律an=2n﹣1，即可求出a2018=4035．
【解答】解：∵4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，
∴（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+4an=（an+1）2，
∵a1，a2，a3……是一列正整数，
∴an+1﹣1=an+1，
∴an+1=an+2，
∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，
…，
∴an=2n﹣1，
∴a2018=4035．
故答案为4035．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子an+1=an+2．
　
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6.00分）（2018•娄底）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题．
【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°
=1+9﹣+4×
=1+9﹣2+2
=10．
【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
　
20．（6.00分）（2018•娄底）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；513：分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=•=，
当x=时，原式==3+2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8.00分）（2018•娄底）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）求样本容量；
（2）补全条形图，并填空：n=　10　；
（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．
【分析】（1）用B等级人数除以其所占百分比可得；
（2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值；
（3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）样本容量为18÷30%=60；

（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）=12人，n%=×100%=10%，
补全图形如下：

故答案为：10；

（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000×=2000人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
　
22．（8.00分）（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】作EH⊥AC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可．
【解答】解：作EH⊥AC于H，
则四边形EDCH为矩形，
∴EH=CD，
设AC=24x，
在Rt△ADC中，sinα=，
∴AD=25x，
由勾股定理得，CD==7x，
∴EH=7x，
在Rt△AEH中，∠AEH=45°，
∴AH=EH=7x，
由题意得，24x=7x+340，
解得，x=20，
则AC=24x=480，
∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，
答：发射塔AB的高度为28m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
　
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9.00分）（2018•娄底）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．
（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；
（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】1 ：常规题型．
【分析】（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；
（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．
【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，
根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，
解得x≤3，
∵x为正整数，
∴x=1，2，3．
∴该景区有三种设计方案：
方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；
方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；
方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；

（2）各方案购买费用分别为：
方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；
方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；
方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；
∵37.08＜38.04＜39.8，
∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．
　
24．（9.00分）（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；
（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF．

（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，
∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AD=BC，
∴DE=BF，∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵OB=OD，EF⊥BD，
∴EB=ED，
∴四边形BEDF是菱形．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　
六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10.00分）（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．
（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；
（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；
（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】15 ：综合题；559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；
（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由=知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；
（3）先求出BC=4、CE=2，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠PBD；

（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴=，即DE•CE=AE•BE，
如图，连接OC，

设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，
则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，
∵=，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，
则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，
∴BC2﹣CE2=DE•CE；

（3）∵OA=4，
∴OB=OC=OA=4，
∴BC==4，
又∵E是半径OA的中点，
∴AE=OE=2，
则CE===2，
∵BC2﹣CE2=DE•CE，
∴（4）2﹣（2）2=DE•2，
解得：DE=．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
　
26．（10.00分）（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】537：函数的综合应用．
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．
设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），
将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，
，解得：，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．
∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），
∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，
∴S△BDF=FM•（yB﹣yD）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．
∵﹣1＜0，
∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1．
②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．
∵EF1∥BD，
∴∠AEF1=∠DBE．
∵ON=ON′，EO⊥NN′，
∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．
∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴点E的坐标为（1，0）．
设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1，
将E（1，0）代入y=﹣2x+b1，
﹣2+b1=0，解得：b1=2，
∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．
联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，
解得：，（舍去），
∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．
当x=0时，y=﹣2x+2=2，
∴点N的坐标为（0，2），
∴点N′的坐标为（0，﹣2）．
同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．
联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，
解得：，（舍去），
∴点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．
综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣，2﹣2）或（﹣，﹣2﹣2）．


【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S△BDF=﹣x2+4x﹣3；②联立直线与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点F的坐标．
　

考点卡片
　
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
　
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
　
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
　
4．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
　
5．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
　
6．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
　
7．零指数幂
零指数幂：a0=1（a≠0）
由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）
注意：00≠1．
　
8．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
　
9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
　
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
　
11．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
　
12．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
　
13．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
　
14．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
　
15．一次函数图象与几何变换
直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
　
16．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
　
17．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
　
18．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y=k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
　
19．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
　
20．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
　
21．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
　
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
　
23．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE

　
24．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
　
25．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
　
26．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
　
27．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
　
28．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
　
29．圆的综合题
圆的综合题．
　
30．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
　
31．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
　
32．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=；tan30°=；
sin45°=；cos45°=；tan45°=1；
sin60°=；cos60°=； tan60°=；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
　
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
　
34．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
　
35．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
　
36．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
　
37．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
　
38．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
　
39．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
　
40．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
　
41．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．