专题23.3 相似三角形的判定-重难点题型-2021-2022学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题23.3  相似三角形的判定-重难点题型【华东师大版】【知识点1 相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果，则．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 【题型1  相似三角形的判定（判定定理1）】【例1】（2021•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC． 【变式1-1】（2021•越秀区校级二模）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．  【变式1-2】（2020秋•宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．   【变式1-3】（2020秋•淮安期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．【题型2  相似三角形的判定（判定定理2）】【例2】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由（1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝25，B′C′＝40，C′A′＝20（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A′B′＝12，B′C′＝16，C′A′＝20    【变式2-1】（2020秋•南召县期中）如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，．当时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．    【变式2-2】（2020秋•肥东县月考）如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由．   【变式2-3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点．   【题型3  相似三角形的判定（判定定理3）】【例3】（2020秋•浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD•AB＝AE•AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．    【变式3-1】（2021春•肇州县期末）如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．    【变式3-2】（2021春•朝阳区校级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2＝CD•BC，求证：△ABC∽△DAC．  【变式3-3】（2020秋•蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．   【题型4  相似三角形的判定（多结论问题）】【例4】（（2021•阿勒泰地区一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式4-1】（2020春•淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：①∠APB＝∠EPC；②AB•PC＝EC•BP；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP与△ECP相似的是（　　）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③【变式4-2】（2020秋•南召县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则下列叙述正确的是（　　）①BC＝4；②；③；④△ADE∽△ABC．A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【变式4-3】（2020秋•天心区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（　　）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③；④．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【题型5  相似三角形的判定（网格问题）】【例5】（2021春•芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）A． B． C． D．【变式5-1】（2021•龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式5-2】（2020秋•鹿邑县期末）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（　　）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【变式5-3】（2020秋•成华区期末）如图，在6×6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知Rt△ABC是网格中的格点三角形，则该网格中与Rt△ABC相似且面积最大的格点三角形的面积是　　，符合条件的格点三角形共有　  　个．【题型6 相似三角形的判定（动点问题）】【例6】（2021春•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？     【变式6-1】（2021春•濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 　     　s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．       【变式6-2】（2020秋•渭滨区期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时间为ts，解答下列问题：（1）当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．   【变式6-3】 （2020秋•舒城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？