2021年九年级人教版数学中考专题复习 15第三章 第6课时 二次函数的综合应用(2)课件

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(2)如图，点Q是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点Q，使S△ACQ＝10？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【方法点拨】1.设动点或图形运动的时间为t或动点坐标为(t，at2＋bt＋c)；2.用含未知数的代数式表示出图形的面积，四边形面积通常通过割补法转化为几个三角形面积的和差；3.特别注意，当所研究的图形在运动过程中发生变化，要根据图形的形状进行分类讨论，注意分析整个过程中图形的变化情况，以防漏解.分类讨论时要注意在每一种情况下的自变量的取值范围.求面积最值时，分别求出图形的面积在每种情况下的最值，比较即可得到面积的最值；4.面积为定值时，可将图形面积与图形中动点的坐标结合起来，列方程求得参数的值即可得点的坐标.
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－ x2－ x＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)如图，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)存在.理由：如图，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点，过点Q1作Q1D⊥y轴于点D.∵∠BCQ1＝90°，∴∠Q1CD＋∠OCB＝90°.又∵在Rt△OBC中，∠OCB＋∠CBO＝90°，∴∠Q1CD＝∠OBC.又∵Q1C＝BC，∠Q1DC＝∠BOC，
∴△Q1CD≌△CBO，∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC＋CD＝3，∴Q1(2，3).同理求得Q2(3，1)，Q3(－1，－1)，Q4(－2，1)，∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形，Q点坐标为Q1(2，3)，Q2(3，1)，Q3(－1，－1)，Q4(－2，1).
(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：(2)存在.理由如下：由题知，抛物线的对称轴为x＝－1.设点Q的坐标为(－1，m).∵点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)，∴直线BC的解析式为y＝－2x＋2，CQ2＝(－1－0)2＋(m－2)2＝m2－4m＋5，BQ2＝(－1－1)2＋(m－0)2＝m2＋4，BC2＝(0－1)2＋(2－0)2＝5.
如图，分三种情况考虑：①当BQ＝BC时，m2＋4＝5，解得m1＝－1，m2＝1，∴点Q1的坐标为(－1，－1)，点Q2的坐标为(－1，1)；②当CQ＝CB时，m2－4m＋5＝5，解得m3＝0，m4＝4，∴点Q3的坐标为(－1，0)，点Q4的坐标为(－1，4)，此时点B，C，Q4在一条直线上，不符合题意.
③当QB＝QC时，m2＋4＝m2－4m＋5，解得m5＝ ，∴点Q5的坐标为(－1， ).综上所述，抛物线的对称轴上存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为(－1，－1)，(－1，1)，(－1，0)，(－1， ).
(3)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为直角三角形；若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：(3)由题知，抛物线的对称轴为x＝－1.∵A(－3，0)，C(0，2)，∴AC2＝(－3－0)2＋(0－2)2＝13.设点Q的坐标为(－1，y)，分三种情况：①如果∠QAC＝90°，那么QA2＋AC2＝QC2，则(－1＋3)2＋(y－0)2＋13＝(－1－0)2＋(y－2)2，解得y＝－3，∴点Q1的坐标为(－1，－3).
②如果∠QCA＝90°，那么QC2＋AC2＝QA2，则(－1－0)2＋(y－2)2＋13＝(－1＋3)2＋(y－0)2，解得y＝ ，∴点Q2的坐标为(－1， )；③如果∠CQA＝90°，那么QC2＋QA2＝AC2，则(－1－0)2＋(y－2)2＋(－1＋3)2＋(y－0)2＝13，解得y1＝ ＋1，y2＝1－ ，∴点Q3(－1， ＋1)，Q4(－1，1－ ).综上所述，所求点Q的坐标为(－1，－3)，(－1， )，(－1， ＋1)，(－1，1－ ).
【方法点拨】探究特殊三角形存在性问题的方法首先假设存在满足条件的点，然后设出点坐标.1.代数法：(1)利用点坐标分别表示出三条线段长的平方；(2)若为等腰三角形且底边不确定，分别令两两相等列方程求解即可；若为直角三角形且直角顶点不确定，分别令三条边为斜边，利用勾股定理列方程求解即可；
2.几何法：(1)等腰三角形存在性问题：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；
②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点时，则交点即为所求的点；若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在；③计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解；
(2)直角三角形存在性问题：①观察图形，判断顶点是否确定，若不确定，则需分类讨论；②结合题干，在图中找出所有满足条件的顶点；③计算：作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系求解.