高端精品高中数学二轮核心专题-导数不等式放缩（带答案）教案

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导数不等式放缩1．已知函数． （Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：．【解析】（本题满分14分）解：（Ⅰ），是函数的极值点，即，所以．（2分）于是函数，，由，可得，因此，当时，；当时，，所以，函数在上单调递减，在上单调递增．  （6分）（Ⅱ）当时，对于任意，恒成立，又，恒成立，，即，．即．2．已知函数．（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：．【解析】解：（Ⅰ），，，是函数的极值点，（1），解得．，定义域为，，，是的唯一零点，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．（Ⅱ）证明：当，时，，又，．取函数，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1）．，而上式三个不等号不能同时成立，故．3．已知函数．（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：．【解析】（Ⅰ）解：，，由是函数的极值点得（1），即，．　　　（2分）于是，，由知在上单调递增，且（1），是的唯一零点．（4分）因此，当时，，递减；时，，递增，函数在上单调递减，在上单调递增．（6分）（Ⅱ）证明：当，时，，又，．　（8分）取函数，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1）．　（12分），而上式三个不等号不能同时成立，故．（14分）4．设，函数（1）求的单调区间；（2）证明：在上仅有一个零点；（3）若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行是坐标原点），证明：．【解析】解：（1），，在上为增函数．（2）证明：，，，即，，，，，即，且由（1）问知函数在上为增函数，在上有且只有一个零点．（3）证明：，设点，则），在点处的切线与轴平行，，即：，，将代入得．，，要证，即证，需要证，即证，因此构造函数，则，由得．当时，，当时，，的最小值为，，，，即：，．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．【解析】（1）解：因为，求导，，①当时，恒成立，此时在上单调递增；②当，由于，所以恒成立，此时在上单调递增；③当时，令，解得：．因为当，、当，，所以在上单调递增、在，上单调递减．综上可知：当时在上单调递增，当时，在上单调递增、在，上单调递减；（2）证明：由（1）可知：当时在上单调递增、在，上单调递减，所以当时函数取最大值．从而要证，即证，即证，即证．令，则，问题转化为证明：．令，则，令可知，则当时，当时，所以在上单调递增、在上单调递减，即（2），即式成立，所以当时，成立．6．已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若，证明：．【解析】解：（1），，令，得．当时，，当时，．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．当时，有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即．令，，2，，则，．即．，．，．7．已知函数为自然对数的底数）．（1）求的最小值；（2）设不等式的解集为，且，求实数的取值范围；（3）设，证明：．【解析】（Ⅰ）解：的导数．令，解得；令，解得．从而在内单调递减，在内单调递增．所以，当时，取得最小值1．（Ⅱ）解：因为不等式的解集为，且，所以对于任意，，不等式恒成立．由，得．当时，上述不等式显然成立，故只需考虑，的情况．将变形为，令，则的导数，令，解得；令，解得．从而在内单调递减，在内单调递增．当时，取得最小值，实数的取值范围是．（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）得，对于任意，都有，即．令，则．，2，，即，2，．．，．8．已知函数，其中为实常数．（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；（2）证明：当时，；（3）求证：．【解析】解：（1）由题意则即在，上单调递增，，，；（2）即证，，，设，在，上单调递减，，，，；（3）利用，，，令，得：，，，，累加得：，当时，；9．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）求证：【解析】解：（1）因为函数，其定义域为所以即当时，增区间为；当时，减区间为，增区间为，（2）当时，函数增区间为，此时不满足在上恒成立；当时，函数减区间为，增区间为，，要使在上恒成立，只需即可，即，令（a）则（a），解得，因此（a）在单调递增，在上单调递减，所以当时，（a）取最大值0，故在上恒成立，当且仅当时成立，即；（3）由（2）知，令时，令，则综上成立．10．已知函数，其中为不大于零的常数．（1）讨论的单调性；（2）证明：，为自然对数的底数）．【解析】解：（1），（1分）①当时，，即，，即，在单调递增，在单调递减；（3分）②当，即时，对恒成立，在上单调递减；（5分）③当时，，或，上单调递增，在和上单调递减；（7分）综上所述，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在和上单调递减．当时，在单调递增，在上单调递减；（8分）（2）由（1）知，当时，在上单调递减，当时，由得：，（10分），（14分）11．已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）求证：对任意的且，都有：．（其中为自然对数的底数）．【解析】解：（1）函数 的定义域为，，①当时，，所以在上单调递增，②当时，令，解得．当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，要证明，即证，即．即．设则，令得，．当时，，当时，．所以为极大值点，也为最大值点所以（1），即．故．（3）证明：由（2），（当且仅当时等号成立）令，则，所以，即，所以