高中数学沪教版高中三年级 第一学期15.6球面距离教学设计

球 面 距 离 的 发 现

授课时间： XXX

授课班级：高一（1）班；

授课地点：学校多媒体教室；

学生状况：学生整体基础尚好，学习勤奋，但是，思维水平差异较大．可喜的是学生普遍喜欢上数学课，并且参与意识较强，课堂上师生感情融洽、民主、平等．

教学目标：

1. 认知目标：理解球面距离的合理性，掌握几种简单球面距离的求法,改进有关“距离”的认知结构．

2. 能力目标：渗透类比、猜想及“数学化”的思想，提高动手实验、合情推理的能力，培养数学交流能力，体验基本的“科研”方法．

3. 情感目标：通过“做数学”，亲历“球面距离”的形成过程，并体验研究与成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，并潜移默化地得到热爱地球、热爱科学的德育熏陶；树立正确的“数学观”并初步形成创新意识和科学精神．

教学重点：

球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协作、探索研究的精神．

教学难点:

实际问题数学化（建模），球面距离定义的合理性．

教具学具：

TI-92Plus图形计算器、计算机、实物投影仪、橡皮筋、地球仪等．

教学过程

1． 创设问题情境 引发研究课题

教师： 同学们，今天是6月6日，请问昨天（6月5日）是一个什么日子？

学生众：世界环境日！

教师：对！是第30个世界环境日．联合国环境规划署将今年的环境日主题确定为：“让地球充满生机”，如果说上个世纪是人类环境意识觉醒的世纪，那么，新世纪将是人类保护环境、拯救地球开始采取切实可行的实际行动的世纪.为纪念并庆祝这一节日，我们今天研究一个关于地球的问题．

引例（计算机演示）：

1993年4月7日,中国东方航空公司的MU583航班喷气客机，从上海（A）飞往美国洛杉矶（B），因受强气流影响，被迫在美国阿拉斯加州阿留申群岛（C）的某空军基地紧急降落．经过紧急处置，除60名伤员仍留在阿拉斯加的安克雷奇医院中之外，其余173名旅客已于4月9日到达洛杉矶．（用FLASH软件制作演示文稿：世界政区图及客机动画模型,略）.

学生观察后提出问题：从世界地图（平面）上看似乎沿北纬300的圆“直行”最近，可为什么从上海飞往洛杉矶的飞机会迫降在东北方向的阿拉斯加呢？这岂不是在绕远道吗？

老师：同学们，生活中处处有数学，就看我们是否有发现的眼睛了．对于这一现象我们该做何解释呢？我们能用数学的观点给出一个合理、科学的解释吗？进而，我们能把这个问题一般化吗？

（回答多种多样，但最终统一到选择航线的主要标准是什么？——行程尽可能短．问题的一般化——球面上两地间的最短路线是什么？）

师：那么，怎样的航线可能最短呢？

生1：沿纬线圈走可能短些．

生2：不对，从上海飞往洛杉矶的飞机绕道东北方向的阿拉斯加这一现象，可以说明沿纬线圈走不是最短． 

生3：对地球上任意两点来说，并不是都有同一纬线经过它们，所以沿纬线圈走不可能总是最短．

师：非常好！同学们的讨论说明这是一个值得研究的问题．即，到底什么是球面上两点间的最短路线?目前还不知道，那么,能否想起与这个问题类似而已经研究过的问题吗？

生4：蚂蚁在正方体的表面上从一个顶点爬行到相对顶点的最短路线问题．

生5：在圆锥、圆台侧面上爬行也可提出类似的问题．

生6：上述问题的解决方法是相同的，都是将空间图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，使问题获解．

师：非常好！对我们的问题有帮助吗？

生7：把球面展成平面图形……

生8：球面不能展成平面图形！

师：有这方面的经验吗？

生9：吃剩下的西瓜皮无论怎样切，它总是展不平．

师：对，球面是不可展的，这一点与多面体、圆柱、圆锥、圆台有本质的不同．那么，这些问题的解决方法对我们现在的问题有帮助吗？

学生10：有！前面那几个“最短路线”都是“平面曲线”它类似于直线，因此，可猜想球面上两点间最短的路线也是一条类似于“直线段”的曲线的长，它可能是某个平面与球面的交线，也就是一条特殊圆弧的长．

师：好极了，经验和直觉都告诉我们，球面上两点间最短的路线应是一条特殊圆弧．而在球面上经过两点的圆弧有无数多条，哪一条最短？同学们，数学是一种活动，不仅应该动脑，也应该动手，请同学们以小组为单位，动手探索球面上两点间的最短路线，并给出你的猜想．

2．动手实验 探索新知

学生以小组为单位，利用地球仪、橡皮筋,协作实验探索，2～3分钟后，

学生11、12到前面提供了实验1: 一位同学将橡皮筋的两头分别置于地球仪的上海和洛杉矶处(此时橡皮筋已被伸长),另一同学将橡皮筋在球面上来回移动，由于“摩擦力”的作用，橡皮筋并不是总回到“理想”位置，两同学面露难色．此时，一位女生跑上前去，提起橡皮筋的中部再突然放开,由于弹性的作用, 橡皮筋停止于最短的状态（同学们报以热烈掌声，团结协作精神也体现的淋漓尽致）．

由经验猜想:沿橡皮筋这条弧线航行行程最短．

师：wonderful！同学们，科学需要观察，但观察并不总是可靠的，眼睛有时也会欺骗我们．谁能进一步说明或者推翻他们的这一结论？

生13：（实验2）借助TI-92Plus图形计算器中“几何画板”功能，做出以线段AB为公共弦的若干圆，并用画板中的度量功能，分别测算出这几个圆中AB弦所对的劣弧的长，不难发现，较大的圆中AB弦所对的劣弧的长较小．

（用实物投影仪演示,如图1）

猜想1：以线段AB为公共弦的若干个圆，以半径较大的圆中AB弦所对的劣弧长较小.

生14：由于地球上大圆的半径最大，根据上述猜想1，学生11、12的结论是正确的，即地球上两地间的最短路线就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧．

3．思辩论证，得出结论

师：经过上面的实验和探索，我们已基本上“认同”了上述猜想，但“认同”毕竟不是“论证”．数学的一大特征是它的逻辑严谨性．我们能证明这一猜想吗？

首先，我们要先弄清问题（将实际问题数学化—建模）．

生15：（实物投影）如图，AB是圆O1和圆O2的公共弦，O2A＞O1A，

求证：．

分析：分析：设∠A O1B=2α，∠A O2B=2β，O2A=R,O1A=r, 则0＜β＜α＜，0＜ r＜R．欲证，，即：2αr＞2βR（公式化），也就是，α·＞β·， ＞，或证，＜．又因为y=（0＜x＜是单调减函数，所以，问题得证．

在球面上，由于，大圆的半径最大，所以，大圆中所对的劣弧最短．

师：同学15用他浓郁的家乡话再一次向我们展示了他的聪明才智．但，我们也注意到在他的证明中用到了“（0＜x＜是单调减函数”这一结论，而它的证明有一定的困难，我们能检验这一结论吗？

生16：能！用TI图形计算器，从下图示中，我们不难发现函数（0＜x＜是单调减函数．

      师：漂亮！这从“形”的方面支持了同学15的证明是正确的，若那位同学能从“数”的一面给出证明，将显得严谨有力．由于时间的关系，这个问题留给感兴趣的同学课下研究．

师：我们已证明了上述猜想是正确的，那么，我们给球面上任两点这一条最短的路线的长度取个什么名字呢？

生众：两点间的球面距离．

（多媒体演示课题：球面距离）

师：好，请同学们用数学语言陈述球面距离的定义．

生17： …（投影球面距离的定义，略）

师：由上不难知道，为什么飞机、轮船都是尽可能以大圆劣弧为航线了．

4．看图辨析 强化概念

师：请同学们观察下列球面模型（多媒体演示，略）中，标出的弧AnB的长是不是A、B两点的球面距离？

同学通过观察、比较总结出球面距离概念的内涵：（1）A、B两点必须在大圆上;（2）是大圆在这两点间的劣弧（或不超过半圆弧）的长度 .

5．距离扩张的历程回顾

师：好，经过同学们的探索、研究发现了球面距离的概念，扩大了知识、提高了能力．请回忆,以前我们还学习了哪几种几何基本对象间的距离？它们有什么共同的特征？

经过学生的讨论可以回忆出下面各种距离：（演示文稿）

两点间的距离

点到直线的距离  　   异面直线间的距离

点到平面的距离  　   平行直线间的距离

平行平面间的离  　   平行于平面的直线与平面间的距离

共同的特征：存在性、最小性、唯一性，是一条特殊线段的长．

师：正如同学们总结的那样，以前各种“距离”都是一条特殊线段的长，而“球面距离”却是一条特殊的圆弧长．但是，它们都是平面“曲线”,具有 “最小性”和“唯一性”，体现了数学概念“和谐发展”．

6．例题分类 寻求解法

师：数学来源于生产与科研实践，又服务于生产与科研实践．

例1．  东方明珠香港于97年7月1日回归祖国，之前京九铁路也已全面贯通．请计算北京（约北纬400、东经1160）与香港（约北纬220、东经1160）的距离大约是多少千米？

例2． 求上海到洛杉矶的距离．（上海和洛杉矶的纬度差不多都在北纬300 稍北的位置，而上海的经度为东经1200稍偏东，洛杉矶的经度为西经1200稍偏西）．

例3．            2004年的奥运会在雅典举行，2008年的奥运会在北京举行．请计算北京与雅典之间的距离．（供学有余力的同学课后研究）

同学们借TI图形计算器分组得出了例1、例2的答案，为规范书写格式提供“标准”答案仍是必要的（用文稿演示，略）．

师：例3的解决有一定的困难，请有兴趣的同学课下研究，我期待着你们的成功．从经纬度来看，球面距离问题可分为几种类型？如何解决？

生18：1.同经度不同纬度的两地间的距离—经度差的绝对值乘以地球半径；2.同纬度不同经度的两地间的距离—先在纬度圈（小圆）中求出弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，进而求出劣弧的长，即：线段AB的长——→∠AOB的弧度数——→大圆劣弧AB的长；3.经、纬度都不同度的两地间的距离．

生19：计算球面距离的关键是先求出此两点所对应的球心角，再根据弧长公式即可求出劣弧长，即这两点的球面距离．

师：非常好！同学们先做后说，提炼出了程序性、操作性的方法，这就是算法．

7.课题小结  交流体验

师：同学们，一节课在不知不觉中就要过去了，愉快的时光总是显得那么短暂．下面就请同学们小结一下，你有何收获和体验？

生：……

师：随便说，一句不少，十句不多．

生20：数学无处不在、无处没有．现实生活中存在着大量的数学问题，我们要养成用数学的眼光观察、发现、分析、解决实际问题的习惯，做有数学头脑的人．

师：实际问题数学化是重要的数学能力，也是数学素养的体现．

生21：这节课跟以前的数学课不大一样，更像物理课．通过观察、转化、猜想、实验、证明，不仅知道了什么是球面距离，还了解了研究问题的一些方法．

师：方法往往比知识重要，而探索方法的过程更重要．

生22：TI图形计算器是我们探索数学奥秘的好帮手，能使我们更好地发现、探究和理解数学．

生23：这样上课很好玩、很有趣．好像是在“做数学”．

师：朴素的语言，真实的感受．

以上同学都谈的非常好，对体验、方法和球面距离的具体求法进行了总结．我相信其他同学也定会有不少感受，这样吧，请同学们课下将学习体会写出来，下周一交给课代表．.

结束语：同学们，6月5日是世界环境日，无独有偶，每年的4月22日为世界地球日．人类只有一个地球，为了明天更美好，为了我们的子孙后代，人类必须“善待地球”，为此，首先要更多地了解地球，那么,我们还应研究球体的那些问题呢？

生众：面积和体积！

师：对，下一节我们将研究这些问题．这一节课，同学们表现的都非常出色，祝同学们学习成功，下课！

案例分析

“距离”是数学中重要的“源”概念，作为中学八种距离中的最后一个的“球面距离”，因为不能像其它距离那样可以转化成一条特殊线段的长而成为学生的认和难点，所以，“球面距离”对于学生来说是一个极富有挑战性的问题．如何让学生在愉悦的环境中主动地对“球面距离”进行有意义的建构，并且在思维能力、人文素养等方面得到提升是本教案设计的初衷．

本课例，以现代建构主义理论为指导，辅以TI技术教育手段，既重视了学生“知识”和“技能”的学习，又注意思想方法的渗透和使用，并且，创设了一个很好的情景，使得既能向学生渗透“环保”的有关思想，又能自然地感受到拓展“距离”概念的必要性，同时，把探索发现“球面距离定义”的过程，作为教学重点，“既教猜想、又教证明”，准确地抓住了实际问题数学化和定义的合理性．

对球面距离定义的合理性，学生在原有的知识和经验的基础上，不难理解它的存在性和唯一性，但，对球面距离为什么是大圆劣弧的长颇感困惑．美国数学家哈尔莫斯说：“学习数学的唯一方法是做数学”．由于TI技术能以更多的方式向学生提供刺激(多元联系表示)，产生直观丰富的形象，从不同侧面认识数学的中的同一个对象(球面距离)，因而可以突破传统技术在时空上的限制，表现传统技术所不能表现的内容．学生通过亲自动手实验，辅以TI图形计算器的支持，可以地看到球面距离概念的形成和发展过程，深刻理解了概念的本质．

教材上对球面距离的处理是重计算、轻发现，枯燥、乏味，给人一种冰冷的感觉．而人类(学生)对数学的思考、发现却是火热的、生动活泼的．因此，本节课又遵循了“返璞归真”原则，把“球面距离”的学术形态转化为教育形态，“把冰冷的美丽变为火热的思考”．整个教学过程，沿着发现问题——提出问题——分析问题——探索和解决问题的途径展开，在师生共同参与下，亲历了知识生长(即“球面距离”概念的形成)过程，学生不仅认识到当前这个概念是应运而生，又是合理的(承袭了“距离”概念的极小性、存在性、唯一性，又有所不同——由直线段变成了圆弧的长)，而且，通过对拓广与承袭关系的分析，把新旧知识联结起来，形成更为完善的有关“距离”的认知结构(包括计算方法)．在亲历“球面距离”概念的形成和发展过程中，学生的创新精神得到了高扬、创新能力得到了培养，特别是为每一个学生个性的充分展开创造了空间，课堂上洋溢着浓郁的人文精神，体现着鲜明的时代特色．