数学沪教版7.1数列教案

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

  数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。

1、     先放缩再求和

例1 （05年湖北理）已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足，证明：，

分析：由条件得：

       ……

以上各式两边分别相加得：

     =

本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。

例2 （04全国三）已知数列的前项和满足：，

（1）写出数列的前三项，，；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对任意的整数，有

分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得：（n>1）

化简得：

,

故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.

故   ∴

∴数列{}的通项公式为：.

⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，

，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，

（2）当是奇数时，为偶数，

所以对任意整数，有。

本题的关键是并项后进行适当的放缩。

2、     先求和再放缩

例3（武汉市模拟）定义数列如下：

证明：（1）对于恒有成立。

     （2）当，有成立。

     （3）。

分析：（1）用数学归纳法易证。

     （2）由得：

          …  …

          以上各式两边分别相乘得：

          ，又

  （3）要证不等式，

可先设法求和：，再进行适当的放缩。

又

原不等式得证。

本题的关键是根据题设条件裂项求和。