高中沪教版12.3椭圆的标准方程教案

12.3 椭圆的标准方程

　一、教学内容分析

本小节的重点是椭圆的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键句“距离之和等于常数（大于两定点的距离）”，理解它并不困难.结合“距离之和等于常数（等于两定点的距离）”，“距离之和等于常数（小于两定点的距离）”来研究图形，加强对概念的理解.

　本小节的难点是椭圆标准方程的推导，在推导过程中应注意以下两点：1、“标准状态”的两层含义：1）椭圆的两个焦点均在坐标轴上，2）这两个焦点的中点（即中心）与原点重合，也就是说椭圆的标准方程是椭圆在最有利于问题解决的特殊位置的直角坐标系中的方程.2、化简方程时，应注意两次平方时的等价性.

二、教学目标设计

1、掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．

2、培养探索能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．

3、激发学习数学的兴趣，提高审美情趣，培养勇于探索、敢于创新的精神，倡导合作学习.
三、教学重点及难点

椭圆的定义和椭圆的标准方程；

椭圆标准方程的推导．

四、教学方法

探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

五、教学过程设计          

（一）创设情境，引入概念

1、生活联想，有哪些是椭圆图形？

2、实物演示：圆柱形水杯倾斜时的水面.

思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？

（二）实验探究，形成概念

1、动手实验：以学生研究为主，教师辅助在黑板上尝试用绳子和图钉，动手画出椭圆.

思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？

2、 概括椭圆定义

引导学生概括椭圆定义

椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆.

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.

思考：焦点为的椭圆上任一点M，有什么性质？

令椭圆上任一点M，则有，

再思考：若及时，轨迹是什么？

线段和无轨迹.

（三）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？

2、研讨探究

问题：如图已知焦点为的椭圆，且=2c,对椭圆上任一点M，有，尝试推导椭圆的方程.

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简.

方案一                             方案二

按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程

各组分别选定一种方案：（以下过程按照第一种方案）

①建系：以所在直线为x轴，以线段的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.

②设点：设是椭圆上任意一点，为了使的坐标简单以简化化简过程，设，则

设与两定点的距离的和等于

③列式：

∴

④化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）

两边平方，得：

即

两边平方，得：

整理，得：

令，则方程可简化为：

整理成：.

（注意：两次平方时的等价性，可以根据学生的具体情况选择加以证明，或者不加证明的指出.）

方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，其坐标是，其中.

讨论：如果以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，椭圆的方程又如何呢？

让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：为椭圆的另一标准方程．

（四）归纳概括，方程特征

1、 观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；

（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：；

（４）求椭圆标准方程时，有时可运用待定系数法求出a,b的值.

2、 在归纳总结的基础上，填下表

（五）例题研讨，变式精析

例题1已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，椭圆上的点到两焦点的距离和为10，求它的标准方程.

[说明]对椭圆定义和椭圆的标准方程的理解和巩固.

例题2求焦点在轴上，焦点为，且过点的椭圆的标准方程.

[说明]此题是椭圆的标准方程的应用问题.

例题3已知定点（-4，0）、（4，0）和动点，求满足的动点的轨迹及其方程.

[说明]对椭圆的标准方程的巩固.

例题4已知椭圆，为椭圆上任一点，，求的面积.

[说明]结合余弦定理，巩固椭圆的定义.

例题5椭圆上一点到左焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，求的长.

[说明]结合三角形的中位线定理椭圆的定义来求解.

（六）变式训练，探索创新

1. 已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4），求它的标准方程.

2．已知：椭圆经过点A(2, ),B(-3, )，求它的标准方程.

3．已知：焦点在x轴上的椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求此焦点与长轴较近的端点距离为的椭圆的标准方程.

4．在椭圆上求一点，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍.

5．在椭圆 上动点P(x,y)与定点M(m,0) (0<m<3)的距离的最小值为1，求m.

6．已知圆和圆，动圆与圆外切，同时与圆相内切,   (1)求动圆圆心的轨迹方程; （2）过点（－2，0）作直线l与点的轨迹交于M、N两点，且线段MN的中点到y轴的距离为，求直线l的方程.

7．已知：是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，求的面积.

（七）小结归纳，提高认识

师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法.

（八）作业训练，巩固提高

思考题：已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，求： 的最大值和最小值.

说明：利用椭圆的定义，结合几何中的不等式关系求解.

教学设计说明

椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础.坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例.本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，可采用学生自主探究学习的方式，使培养学生探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课的教学设计.

椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣；在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用师生合作动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力.

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题.在方程的推导过程中，学生分组探究，师生共同探讨方程的化简、研讨方程的特征，让学生体验椭圆方程建立的具体过程，了解椭圆标准方程的来源，并在师生合作探究、讨论的活动中，体会成功的快乐，提高数学探究能力，培养独立主动获取知识的能力.

设计例题、习题的变式训练，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃思维，发展数学思维能力（但这些例题和习题应根据学生的实际供教师选用）.在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔知识应用视野.