高中沪教版12.8抛物线的性质教案

8．6　 抛物线的简单几何性质

我们根据抛物线的标准方程

y2＝2px(p＞0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

来研究它的几何性质．

1．范围

因为p＞0，由方程①可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

2．对称性

以－y代y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

3．顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．

4．离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

例1　 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过

解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，

y2=2px(p＞0)．

因为点M在抛物线上，所以

即

p=2

因此所求方程是

y2=4x．

的范围内几个点的坐标，得

描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(图8－23)．

在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．

这就是标准方程中2p的一种几何意义(图8－24)．利用抛物线的几何性

抛物线基本特征的草图．

例2　 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分(图8－25(1))，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置．

解：如图8－25(2)，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点 (即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．

设抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)．由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得

302=2p×40，

练习

1．求适合下列条件的抛物线方程：

(1)顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5，－4)；

(2)顶点在原点，焦点是F(0，5)；

(3)顶点在原点，准线是x=4；

(4)焦点是F(0，－8)，准线是y=8．

小结：

1、抛物线的几何性质

2、在解题过程中要注意利用数形结合的数学思想

作业：

课本P123   1、2、3