高中数学沪教版高中一年级 第二学期5.2任意角的三角比教案

5.2(1)  任意角的三角比

                        上海市杨浦高级中学  方耀华

一、教学内容分析

　　通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角比，并利用与单位圆有关的线段，将前三个三角比的值分别用它们的几何形式表示出来；接着着重研究正弦、余弦、正切这三个三角比的条件和其在各个象限的符号；并根据三角比的定义，得出“终边重合的角的同一三角比的值相等”的结论及把此结论表示成为第一组诱导公式（公式一）．

二、教学目标设计

(1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

(2) 了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切等三角比对角的条件要求；

(3) 体会同一角三角比的值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑．

三、教学重点及难点

重点：任意角的三角比的定义．

难点：用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值．

四、教学流程设计

五、教学过程设计         

一、情景引入

回顾：在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如：

引入：前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们研究任意角的三角比.

把锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.易知在角的终边上，设它的坐标为，它与原点的距离，可发现作为锐角的三角比能用其终边上的点的坐标来定义，而这种定义方法可用于定义任意角的三角比.

二、学习新课

1、概念形成

         任意角的三角比定义

设是一个任意角，在的终边上任取一点（除原点），

则与原点的距离，

比值叫做的正弦   记作： 

比值叫做的余弦   记作： 

比值叫做的正切   记作： 

比值叫做的余切   记作： 

比值叫做的正割   记作： 

比值叫做的余割   记作： 

提问：对于确定的角，这六个三角比值的大小与点在角终边上的位置是否有关？

利用相似三角形的知识，可以得出对于确定的角，这六个三角比值的大小与点在角的终边上的位置无关．

提问：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角，它的六个三角比都存在呢？

(1) 当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点的横坐标都为0，所以、无意义；

(2) 当角的终边在横轴上时，即时，终边上任意一点的纵坐标都为0，所以、无意义.

从而有：           .

[说明] (1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与轴的非负半轴重合.

 (2) 是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.

(3) 是个整体符号，不能认为是“”与“”的积，其余五个符号也是这样.

(4) 三角比值只与角的大小有关.

(5) 任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别:

任意角的三角比就包含了锐角三角比，实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的，锐角三角比是任意角三角比的一种特例. 所不同的是，锐角三角比是以边的比来定义的，任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的.

为了便于记忆，我们可以利用两种三角比定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角比进行类比记忆.

2、三角比的一种几何表示

（一）单位圆和有向线段

(1) 单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆.

(2) 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段.

设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于.

规定：当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；

  当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；

  当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；

根据上面规定，则,

利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线.如下图3．

图3

由正弦、余弦、正切三角比的定义有：

这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线则不存在．

例1：已知角的终边经过点，求的六个三角函数值.

答：     

提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（注意：分和两种情况进行讨论）

例2：求下列各角的六个三角比值

(1) 　　(2) 　 (3) 　

答：(1) ,

不存在，，不存在.

　　(2) 不存在,

， 不存在，.

　　(3) ,

，，.

例3：作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线

(1)                 (2)

如图，正弦线、余弦线、正切线分别为．

例4.求证：当为锐角时，．

证明：如右图，作单位圆，当时作出正弦线和正切 线，连，，

三、巩固练习

练习5.2（1）

四、课堂小结

（1）任意角的三角比的定义；

（2）三角比的几何表示——三角函数线；

（3）掌握分类讨论的思想（主要对象限的讨论）；

（4）掌握数形结合的思想（对三角函数线的理解及其应用）；

五、课后作业

练习册  P15－17

习题5.2  A组   1，2，3，9，10

习题5.2  B组   1，4

六、教学设计说明

1、 由任意角的三角比的定义可知，若已知角终边上一点，便可求出其各三角比的值，或通过三角比的定义，可知其二求其一．

（2）必须讲清并强调这六个比值的大小都与点 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．

（3）教学中应注意，语言要准确严密．

（4）教学中，应当引导学生深刻认识三角比符号的含义．如这个符号，它表示，即角的正弦，不能把看成与的乘积．同时也应注意，每个三角比记号的第一个字母“ ”或“ ”或 “ ”都不能大写，不能让学生写成“”、“”等

 （5）本设计中的某些问题可能适合部分学生，教师应作适当选择.