高中数学2.5不等式的证明学案

§2.1.3不等式的的证明(3)

☆学习目标：1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法;

2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式

☻知识情景：

 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．

                           20. 综合法和分析法．

                            30. 反证法、换元法、放缩法

2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,

           通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.

             又叫由    导     法.

           用综合法证明不等式的逻辑关系：

3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,

    直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),

        从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.

           这是一种执    索     的思考和证明方法.

   用分析法证明不等式的逻辑关系：

☻新知建构：

 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步  分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步  作出与所证不等式相反的假定；

第三步  从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

     第四步  断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.

  例1已知 + b + c > 0，b + bc + c > 0，bc > 0，求证：, b, c > 0 .

2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.

       常用的换元有三角换元有：

10．已知，可设           ，            ；

20．已知，可设           ，           ()；

30．已知，可设            ，             .

 例2 设实数满足，当时，的取值范围是（    ） 

例3 已知，求证：

3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小

          由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.

            常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：，，

                ②将分子或分母放大（或缩小）如：

       ③应用“糖水不等式”：“若，，则”

            ④利用基本不等式，如：；

          ⑤利用函数的单调性

        ⑥利用函数的有界性：如：≤；

      ⑦绝对值不等式：≤≤；

    ⑧利用常用结论：如：，

 ⑨应用贝努利不等式：

 例4  当 n > 2 时，求证：

例5求证：

例6 若a, b, c, dR+，求证：

选修4-5练习         §2.1.3不等式的证明(3)        姓名      

1、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.

2、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于

3、已知，求证：（且）.

4、若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2。

 5、已知 ≤≤，求证：≤≤

6、设，，求证：；

7、求证：

8、求证 

 9、设为大于1的自然数，求证

10、若是自然数，求证

11、求证：≥

12、求证：

参考答案:

例1

例2

例3

放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度。常用的方法是：

①添加或舍去一些项，如：，，

②将分子或分母放大（或缩小）

③真分数的性质：“若，，则”

④利用基本不等式，如：；

⑤利用函数的单调性

⑥利用函数的有界性：如：≤；≥；

⑦利用常用结论：

Ⅰ、，

Ⅱ、 ； （程度大）

Ⅲ、 ； （程度小）

⑧绝对值不等式：≤≤；⑨应用二项式定理.

构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.

贝努利不等式

例如，对于任何和任何正整数，由牛顿二项式定理可得

舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： .

在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。

该不等式不仅当是正整数的时候成立，而且当是任何大于1的有理数的时候也成立。

这就是著名的贝努利不等式。

在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设，

    则在或时，，在时，

例4证：∵n > 2     ∴

   ∴

       ∴n > 2时, 

例5证明：由（是大于2的自然数）

       得

例6证：记m =

∵a, b, c, dR+     

∴

         ∴1 < m < 2     即原式成立。

练习

1．证明：假设都小于，则

                                （1）

      另一方面，由绝对值不等式的性质，有

             （2）

    （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，

  通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出

  的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各

  种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

2、 证：设(1  a)b >,  (1  b)c >,  (1  c)a >,

则三式相乘：ab < (1  a)b•(1  b)c•(1  c)a <   ①

又∵0 < a, b, c < 1   ∴

同理：, 

以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤   与①矛盾.    ∴原式成立

4提示：反设≥2，≥2   ∵x, y > 0，可得x + y ≤2  与x + y >2矛盾。

10 证明：

                              =

                              =

注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结

     论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。