高中数学沪教版高中一年级 第一学期2.5不等式的证明教案

2.5 不等式的证明

一、教学内容分析

    有关不等式的证明问题一直是数学中的难点，除一些基本方法外还牵涉到相当多的技巧问题.作为高一的不等式证明重在基本证明思路、方法的介绍，所以教材中也不牵涉过多的技巧问题，主要涉及利用不等式基本性质以及基本不等式来进行证明.

二、教学目标设计

1、掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路.

2、能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明.

3、在证明的过程中，加强不等式性质及基本不等式的应用.

4、代数证明基本能力的提升以及逻辑推理水平的进一步加强。

三、教学重点及难点

重点  利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明.

难点  分析法的基本思路及其表达.

四、教学过程设计

一、比较法

比较法有两种：

（1）比差法：求差与比.

（2）比商法：求商与比，要注意讨论分母的符号.

例1  求证：（1）.

  （2）.

证明：（1）因为，

所以，.

（2）因为，

所以，.

[说明]

本例的几何意义.

（1）的图像在的下方，如图所示（A点比B点低1个单位）.

（2）的图像在的图像上方，如图所示（A点比B点高）.

例2  设，，求证：.（补充）

证明：

因为，，又，，当且仅当时等号成立，

所以，，当且仅当时等号成立.故 .

另证：因为，，所以，则

.当且仅当时等号成立.

又，，故 .当且仅当时等号成立.

[说明]

    此例采用了比差和比商两种方法给出证明，由证明过程体会两种方法各自的“优点”.

二、综合法

从已知条件出发，利用各种已知的定理和运算性质作为依据，推导出要证的结论.这种证明方法称为综合法.

例3  已知、、均为正数，求证：.

证明：

                                ，

因为、、均为正数，由基本不等式2和不等式性质得：

即，.

当且仅当时等号成立.

所以，不等式成立.

例4  已知、，求证：.

证明：.当且仅当时等号成立.所以不等式成立.

例5  求证：.

证明：因为，由基本不等式得，

.当且仅当时等号成立.

所以，不等式成立.

[说明]

    此例给出了如何利用基本不等式求函数最值的一种方法.

例6  求证：.

证明：一方面，

                         .

当且仅当时等号成立.

另一方面，.当且仅当时等号成立.

所以，，当且仅当等号同时成立.

[说明]

    利用基本不等式证明此例有一定难度，可适当选用.

三、分析法

从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立.这种证明方法称为分析法.

分析法也可以如下叙述为：

欲证结论，需先证得，

欲要证得，需先证得，

        欲要证得，需先证得，

……………………………，

              欲要证得，需先证得.

当成立时，若以上步步可逆，则结论成立.用数学语言表述，必须保证下述过程成立：

…，因为成立，所以结论成立.

[说明]

分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.

例7  求证：.

证明：因为，，则要证成立，

即证成立，

即证成立.

即证成立，即证成立，即证成立.

因为成立，且以上步步可逆，所以，.

例8  已知：，求证：.

证明：要证成立，

即证成立

即证成立，

即证成立，

    由成立，且以上步步可逆，故有

 . 

例9  设、，求证：，并指出等号成立的条件.

证：先证“”.

注意到，，则对于任意、，要证成立

即证成立，

即证成立，

即证成立，

由绝对值定义知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等号成立.

再证；“”.

由，，则对于任意、，要证成立，

即证成立，

即证成立，

即证成立，

即证成立，

由绝对值定义知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等号成立；

综上可得，任意、，不等式成立.

    例9证明的不等式对任意的实数、成立，以换得到的不等式，即也成立，此时，右端等号成立，左端等号成立.

以上证得的两个不等式，是绝对值不等式的重要性质，称之为

三角不等式  对于任意、，

（1），左端等号成立，右端等号成立.

（2），左端等号成立，右端等号成立.

[说明]

    有关三角不等式的教学是讲全还是选讲其中部分，可适学生的具体情况而定.

例10  已知，，求证：.

证明：由三角不等式可得：

.所以，.

[说明]

    此例为练习2.4（5）中的一题.

四、课堂小结

五、作业布置

选用练习2.4（4）（5）（6）、习题2.3中的部分练习.

五、教学目标说明

有关不等式的证明可分为两个课时进行.第一课时为比较法、综合法；第二课时为分析法.

有关不等式证明问题的教学应侧重于基本思路与基本方法的讲解，难度不易过高，特别是在证明的技巧性上需严格控制，只需对不等式的基本性质以及基本不等式做适当应用即可.

教学中的难点为分析法的讲解，一定要慎重.讲清思路以及它的理论依据，特别在书写格式上应提出严格的要求，防止学生出现证明过程由结论推至条件的严重错误.

    三种方法介绍完之后，师生应有所归纳与小结，理清证明思路.事实上，一题往往会有多种证法，关键在于对题目的分析，选用哪种证法更为合适显得尤为重要.