沪教版高中一年级 第二学期5.2任意角的三角比教案

任意角三角比

一、任意角三角比教学内容分析

    任意角的三角比分为4个课时。第一课时学习与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边相同的角，并且能按要求正确表示。第二课时通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点；能正确进行弧度与角度的换算；会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题。第三课时通过任意三角比的学习进行求值、化简和证明。第四课时领会象限角的三角比的符号及坐标角的三角比值，并在此基础上进行计算、判断和求值等。

二、教学目标设计

1、知识与技能

领会与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边相同的角，并且能按要求正确表示；通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点；能正确进行弧度与角度的换算；会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题；学会使用单位圆中的有向线段表示三角比；通过任意三角比的学习进行求值、化简和证明；领会象限角的三角比的符号，及坐标角的三角比值。

2、过程与方法

通过生活中的实例感悟角度概念推广的必要性，体会“旋转成角”的概念；通过回忆锐角三角比，感悟任意三角比的定义及相关要点；通过三角比的建立，是学生初步领会用代数方法解决几何问题的数形结合思想。

3、情感态度与价值观

在整个教学过程中用运动变化的观点审视事物，用对立统一的规律揭示生活中的空间形式和数量关系。培养学生的辩证唯物主义观点。

三、教学重点及难点

重点：理解任意角的相关概念，掌握弧度制与角度制的关系和运用，掌握任意角三角比的值与符号，并能进行应用。

难点：弧度制的应用，任意角三角比的值与符号形成与认识。

四、教学流程设计

五、教学过程设计

第一课时：任意角及其度量（1）

华东师范大学附属东昌中学       杨雪

教学目标：

1、 通过生活中的实例感悟角度概念推广的必要性，体会“旋转成角”的概念。

2、 领会与角有关的概念，如正角、负角、零角、象限角、终边相同的角，并且能按要求正确表示。

3、 树立辩证唯物主义的世界观。

教学用具：

    多媒体。

教学方法：

    讲授法。

教学过程：

一、              引入课题：

在初中时，我们学过锐角、直角、钝角等，在现实生活和工程实践中也常常遇到，但我们也会遇到如体操中“转体720o”，这样的角超出了我们熟知的范围，那么它是如何定义的呢？

在这一章中我们要把角度扩充到一切实数，我们要来研究任意角的三角比之间的联系，并为我们学习下一章的三角函数打好基础。

二、              讲解新课：

（一）  角的概念的推广：

问：什么是角？

答：从同一点出发的两条射线所构成的几何图形称为角。①

问：角还可以怎样生成？

答：一条射线由原来的位置，绕着它的端点旋转到另一位置所形成的几何图形。②

问：比较一下这两个关于角的定义，你认为哪一个更好?

答：各有千秋。①形象、直观、易理解，但是“狭隘”，②“旋转”形成角，描述了角生成的动态过程。我们把射线初始位置叫做角的始边，射线的最终位置叫做角的终边，端点叫做顶点。其次，②扩大了角的范围。①定义的角只在0o—360o，②则定义了任意角。

问：既然角可由“旋转”得到，那么平面中有几种“旋转”的方式?

答：顺时针旋转和逆时针旋转。

问：那么根据旋转的方式，角可以分成几类呢？请你给这几类角取个名字。

答：三类：正角、负角和零角。一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的；当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，叫零角，它的大小是0o。我们常用希腊字母α、β来表示角。

例：书P5图5-1中，主动轮与被动轮的齿数之比为3:5，当主动轮按逆时针方向旋转5周时，OA绕O旋转所形成的角是1800o，被动轮会按顺时针方向旋转3周，O’B绕O’旋转所形成的角是-1080o。

（二）  象限角：

角的顶点置于坐标原点，角的始边置于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，而是坐标角。）

例：书P6例1。

练一练：判断下列各角分别属于哪个象限：

30  390  330  300  60   585   1180  2000

（三）终边相同的角：

1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同

2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和。

390=30+360   

  330=30360     

  30=30+0×360  

  1470=30+4×360  

  1770=305×360  

3．所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合

    即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

练一练：书P7练习5.1（1）

三、              巩固练习：

1、 如图所示，写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合。

2、 在直角坐标系中，若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β之间的关系一定是（   ）

A、                B、

C、           D、

3、 如果α是第二象限的角，那么是第几象限的角？

四、反思与提高：

1、 什么是角？角可以分为几类?什么是象限角？

2、 如何表示终边相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐标轴上角？

3、 查资料了解关于三角学的简史。

教学设计说明：

从体操例子出发，说明实际生活中存在对角进行拓展的需要，感受数学知识的发展与延伸与生活的需要相关的，并要求学生课后对三角学的简史做一定的了解，提高对知识背景的认识与了解，更有学习的动力。

在与学生的交流、引导中引出正角、负角、零角的概念，进而定义象限角、终边相同角，通过适当的练习巩固概念，加强认识。

第二课时：任意角及其度量（2）

华东师范大学附属东昌中学       顾冬磊

一、教学目标

知识与技能目标：

（1）建立弧度制

（2）能正确进行弧度与角度的换算。
（3）引入象限角

（4）会利用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题

过程与方法目标：

（1|）通过比较角度制与弧度制，体会弧度制在解决问题中的优点

（2）在弧度制下的扇形面积公式和圆的弧长公式

情感态度与价值观目标：

（1）      树立辩证唯物主义的世界观。

（2）      了解数学史料，体会数学的美学价值，提高审美情趣。

二、教学过程：

一、讲解新课：

（一）知识点的介绍

a、介绍弧度制：

问：初中时我们们学习的角度制是如何度量角的？

答：将一个周角的规定为1o。

述：今天我们介绍另一种度量角的单位制——弧度制。它的单位是rad 读作弧度。

                                            定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

                                             如图：AOB=1rad

                                                   AOC=2rad 

                                                   周角=2rad

1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0。

2． 角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）。

3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）。

       用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

b、角度制与弧度制的换算：

抓住：360=2rad    ∴180= rad

      ∴

    例：书P33例2、例3和表2。

注意几点：

1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略  如：3表示3rad  sin表示rad角的正弦；

2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住；      

3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

                        任意角的集合     实数集R

    练一练：书P35练习5.1（2）/1、2、3

c、弧长公式与扇形面积公式：

例：书P33例4。

比较和弧度制下两组公式的区别

（二）典型例题：

例：用弧度制表示：
1终边在轴上的角的集合；
2终边在轴上的角的集合；
3终边在坐标轴上的角的集合。
4第一象限角的集合；
5第二象限角的集合。

例：书P34例6。

注意：在同一个表达式或同一个问题中不要将角度制和弧度制混用。

介绍分区域的方法。

（三）巩固练习：

4、 如图所示，写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合。

5、 在直角坐标系中，若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β之间的关系一定是（   ）

A、                B、

C、           D、

6、 如果α是第二象限的角，那么是第几象限的角？

7、 将下列按从小到大的顺序排列

8、 计算：。

9、 地球赤道的半径约为6370km，求赤道上的弧长（取3.14，结果精确到0.01km）。

10、              将铁片剪成一个半径为9厘米，弧长为15厘米的扇形零件。求这扇形的面积。

三、课后反思与提高：

4、 什么是角？角可以分为几类?什么是象限角？

5、 如何表示终边相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐标轴上角？

6、 什么是角度制？什么是弧度制？角、弧度制之间如何换算？

7、 弧度制在解决问题过程中有哪些优点？

8、 什么是弧长公式与扇形面积公式？

6、写出终边在第一、三象限角平分线上和终边在第二、四象限角平分线上的角的集合（合并成一种形式）．

7、查资料了解关于三角学的简史。

四、教学设计说明

本节课是三角比的第二节课，在了解高中阶段角的新的定义方法的基础上，引入新的角的度量方式——弧度值。本节课的重点就是介绍弧度值：他的定义，和已经学过的角度制之间的联系，以及弧度值相对于角度制的好处，难点在于角度弧度之间的熟练的转换，因此训练就要集中的打破旧的角度思维思路，改为弧度考虑。整堂课因此分为三大部分，第一部分是新的知识的介绍，第二部分主要是角度弧度的转化训练，最后一部分是反思和提高，把整堂课以及上一堂课的内容作一个总结。

第三课时：任意角的三角比（1）

赵向杰

教学目标：

1、 通过回忆锐角三角比，感悟任意三角比的定义及相关要点。

2、 通过任意三角比的学习进行求值、化简和证明。领会象限角的三角比的符号，及坐标角的三角比值。

3、 通过三角比的建立，是学生初步领会用代数方法解决几何问题的数形结合思想。

教学用具：

    多媒体。

教学方法：

    讲练法。

教学过程：

一、              引入课题：

在初中时，我们学习了锐角三角比。如图所示，直角三角形OQP中，，点O在原点处。设点P的坐标为，则角α的对边QP的长为y，邻边OQ的长为x，斜边OP的长为r，。

有锐角三角比的定义，得：

。

锐角α的三角比可以用其终边上点的坐标来定义。

二、讲解新课：

1、设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离（图示见书P12略）

2、比值叫做的正弦    记作：  ；

比值叫做的余弦    记作：  ；

比值叫做的正切    记作：  ；

比值叫做的余切    记作：  ；

比值叫做的正割    记作：  ；

比值叫做的余割    记作： 

注意:

①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角比值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

第一组诱导公式：

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明）

③，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（后面将专题研究）

④定义域：

3、典型例题：

例：书P13例1、例2。

介绍单位元。

练一练：书P14练习5.2（1）/1、2

例：书P14表3

练一练：书P14练习5.2（1）/3

计算5sin270º+2cos90º+3cos360º+tan180ºsin0º+sin245º－cos60º。

例：书P14例3

练一练：书P16练习5.2（2）/1

例：⑴ 已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值；

 ⑵已知角的终边经过P(4a,3a),(a0)求2sin+cos的值。

三、              巩固练习：

1、 已知角α的终边上一点，求。

2、 已知角θ的终边上一点为P，OP=25（O为坐标原点），且，求点P的坐标。

3、 已知，且α是第四象限的角，求α的其他三角比。

4、 求证：。

5、 化简：。

6、8、设，则等于（  ）

A、    B、    C、    D、

四、反思与提高：

1、任意角的三角比是如何定义的？，，分别与tan α，cos α，sin α有何联系？

2、什么是第一组诱导公式？如何求坐标角的三角比？是否所有的角都存在六个三角比？

3、试研究六个三角比值的取值范围。

4、如何确定任意角的三角比在各个象限内的符号?

第四课时：任意角的三角比（2）

朱  新

一．          教学目标：

1．       知识与技能

掌握任意角的三角比的定义，会根据角的终边上的一点的坐标求出六个三角比，并能确定六个三角比在各象限内的符号。会利用任意角的三角比的定义进行三角比的求值、化简和证明。

2．       过程与方法

在体会的过程中感悟和归纳出各象限内三角比的符号，渗透数形结合的数学思想。

3．       情感态度与价值观

   用运动变化的观点审视事物，用对立统一的规律揭示生活中的空间形式和数量关系。

4、教学重点与难点

重点：

根据角的终边上的一点的坐标求出六个三角比，并能确定六个三角比在各象限内的符号。利用任意角的三角比的定义进行三角比的求值、化简和证明。

难点：

    六个三角比在各象限内的符号的理解和记忆。

教学方法：

二、教学过程设计：

（一）复习引入

（二）新课：

1、①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角比值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

第一组诱导公式：

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。③，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定

④定义域：

2、任意角的三角比在各个象限内的符号：

因为角α的三角比由其终边上的点确定，所以点P的坐标符号决定了角α的三角比的符号。请同学完成表4。由此，总结出正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号规律还可以结合正弦线、余弦线、正切线进行印证。

为了便以记忆，我们也可以归纳为一个图：

              为正    全正

为正    为正

3、例题

（1）求下列各三角比的值：

①sin1470          ② cos      ③tan

（2）判断下列角的正弦、余弦、正切、余切的符号：

①             ②

（3）根据下列条件确定角属于哪个象限：

①且

②

（4）求函数 的值域。

（5）求证：角为第三象限角的充分必要条件是

                     ①

                     ②

（6）求的定义域。

4、巩固练习：

（1）已知角α的终边上一点，求。

（2）已知角θ的终边上一点为P，OP=25（O为坐标原点），且，求点P的坐标。

（3）已知，且α是第四象限的角，求α的其他三角比。

（4）确定下列三角比的符号：

； ； ； 。

（5）已知，确定α所属的象限。

5、反思与提高：

（1）什么是第一组诱导公式？如何求坐标角的三角比？是否所有的角都存在六个三角比？

（2）试研究六个三角比值的取值范围。

（3）如何确定任意角的三角比在各个象限内的符号?

三、教学设计说明：

1、本课通过对任意角三角比的复习与回顾，引入终边相同的角的三角比问题，从而得出第一组诱导公式，并在此基础上，引导学生确定各三角比在每个象限的符号。

2、因为这节课主要是让学生在理解概念的基础上对所学知识进行应用与深化，所以设计了6组层层提高的例题，帮助学生彻底理解本课时的知识并有所提高，同时还准备了一组题用于深化所学的知识。

3、教学中加强数学思想的渗透。