数学高中一年级 第一学期3.4函数的基本性质教学设计

课    题：函数的基本性质-奇偶性(1课时)

教学目标：

1. 掌握偶函数与奇函数的概念，会判断一些函数的奇偶性；掌握偶函数与奇函数图像的性质。
2. 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养观察、归纳、抽象能力和数形结合思想。
3. 感悟数学美。

教学重点：函数的奇偶性概念及其判断

教学难点：判断函数的奇偶性

教学过程：

引子：前面我们学习了函数的定义，研究了函数的定义域，解析式以及和函数、积函数。今天开始我们要来研究函数的一些性质。

研究方法：从特殊到一般，即“观察、归纳、抽象”的方法。

目前我们了解的几种函数：

(1)正比例函数：如f(x)＝2x；  (2)反比例函数：如f(x)＝； (3)一次函数：如f(x)＝x＋1；

(4)二次函数：如f(x)＝x2－2；  (5)常数函数：如f(x)＝2；    (6)分段函数：如f(x)＝|x|。

研究内容：函数图像的对称美

1、关于y轴对称的轴对称函数图像：(4)、(5)、(6)

2、关于原点对称的中心对称函数图像：(1)、(2)

课题：研究图像关于y轴对称的函数。

问题(1)：是不是所有的二次函数都关于y轴对称？显然不是。

如f(x)＝x2－2x的图像关于直线x＝1对称。

问题(2)：符合什么条件的二次函数才关于y轴对称？

研究f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)可知：f(x)＝a(x＋)2＋c－

当－＝0即b＝0时，二次函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)的图像关于y轴对称。

问题(3)：如果给你一个函数，你能否判断其是否关于y轴对称？

——作函数的图像（学生的想法）。

点拨：作函数图像的依据是函数解析式，说明函数解析式决定了图像的性质。

研究方向：研究函数解析式的特征。

课题：如何用自变量x及其函数值f(x)来刻画函数图像的对称性呢？

个案研究：如f(x)＝x2－2（让学生自己也找一个）

研究过程(1)：关于y轴对称的点的坐标具有什么特点？横坐标为相反数，纵坐标相等。

点P1（x1，f(x1)）与点P2（x2，f(x2)）关于y轴对称，可得x2＝－x1，f(x2)＝f(x1)

即：若P1（x1，f(x1)）与点P2（－x1，f(－x1)）关于y轴对称，则f(－x1)＝f(x1)

显然逆命题也成立：

若f(－x1)＝f(x1)，则点P1（x1，f(x1)）与点P2（－x1，f(－x1)）关于y轴对称。

重要发现：f(－x1)＝f(x1)是点P1（x1，f(x1)）与点P2（－x1，f(－x1)）关于y轴对称的充要条件！

研究过程(2)：在函数f(x)＝x2－2图像上任取一点，关于y轴对称的对称点是否一定还在其图像上呢？

任取一点P1（a，f(a)），关于y轴对称的对称点为P2（－a，f(a)）。

因为（－a，f(－a)）在函数图像上，只要证明f(－a)＝f(a)即可。

∵f(－a)＝(－a)2－2＝a2－2＝f(a) 

∴函数f(x)＝x2－2图像上任意一点关于y轴对称的对称点均在其图像上

则函数f(x)＝x2－2的图像关于y轴对称

研究结论：图像关于y轴对称的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)＝f(x)。此类函数y＝f(x)叫做偶函数。

研读定义：

(1) f(x)与f (－x)均存在，则x∈D且－x∈D，得定义域关于原点对称。

(2) 判断一个函数是偶函数时，用任意性进行证明；判断一个函数不是偶函数时，只需要举出一个反例即可。

 [例1] 判断下列函数是否为偶函数？

(1)f(x)＝2x4－3x2；  (2) f(x)＝；  (3) f(x)＝

解：(1)f(x)＝2x4－3x2的定义域D＝ (－∞，＋∞)

∵f(－x)＝2(－x)4－3(－x)2＝2x4－3x2＝f(x)

∴f (x)＝2x4－3x2是偶函数

(2) f(x)＝的定义域D＝(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称

∴f(x)＝不是偶函数

(3) f(x)＝的定义域D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)

∵f(－1)＝－1，f(1)＝1  ∴f(－1)≠f(1)

则f(x)＝不是偶函数

反思：判断函数是否偶函数，先看定义域是否关于原点对称，再研究f(－x)与f(x)关系。

问题：我们知道函数f(x)＝的图像关于原点对称。那么，图像关于原点对称的函数具有怎样的特征呢？（分组研究）

重要发现： f(－x1)＝－f(x1)是点P1（x1，f(x1)）与点P2（－x1，f(－x1)）关于原点对称的充要条件！

研究结论：图像关于原点对称的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)。此类函数y＝f(x)叫做奇函数。

研读定义：

(1) f(x)与f (－x)均存在，则x∈D时必有－x∈D，得定义域关于原点对称。

 (2) 判断一个函数是奇函数时，用任意性进行证明；判断一个函数不是奇函数时，只需要举出一个反例即可。

小结：函数的上述两个性质，称为函数的奇偶性。

[例2] 判断下列函数的奇偶性。

(1)f(x)＝x＋；  (2) f(x)＝x2＋；  (3) f(x)＝|x＋1|－|x－1|；  (4) f(x)＝2

解：(1)f(x)＝x＋的定义域D＝ (－∞，0)∪(0，＋∞)

∵f(－x)＝(－x)＋＝－x－＝－(x＋)＝－f(x)

∴f(x)是奇函数

(2) f(x)＝x2＋的定义域D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)

∵f(－1)＝0， f(1)＝2  ∴f(－1)≠f(1)且f(－1)≠－f(1)

∴f(x)＝既不是偶函数，又不是偶函数。

(3) f(x)＝|x＋1|－|x－1|的定义域D＝(－∞，＋∞)

∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)

∴f(x)是奇函数

(4) f(x)＝2的定义域D＝(－∞，＋∞)

∵f(－x)＝2＝f(x)

∴f(x)是偶函数变式1：f(x)＝0 —— 既是奇函数，又是偶函数。

变式2：f(x)＝ax2，a∈R

解：(1) 当a＝0时，f(x)＝0，x∈(－∞，＋∞)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

(2) 当a≠0时，f(x)＝ax2，x∈(－∞，＋∞)，则f(x)是偶函数。

思考1：既是奇函数，又是偶函数的函数有多少个？

——无数个(表达式唯一即f(x)＝0，但定义域可以不一样) 。

思考2：两个奇函数的和是不是一定是奇函数？

——不一定。和函数可能不存在；若和函数存在，则一定是。

思考3：知道了函数的奇偶性，可以派什么用处

作用一：利用函数的奇偶性可以作函数图像。

[例3]已知函数y＝f(x)是偶函数，且知道x≥0时的图像，请作出另一半图像。

由偶函数图像关于y轴对称，可以作出函数的另一半图像。

作用二：利用函数的奇偶性可以求函数解析式。

[例4]已知函数y＝f(x)是奇函数，且x＞0时，f(x)＝x2＋2，求x＜0时函数f(x)的解析式。

解：x＜0时，－x＞0  ∴f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2

∵y＝f(x)是奇函数  ∴f(－x)＝－f(x)

即x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2)＝－x2－2  ——可以作图进行验证

思考：若告诉你f(x)在x＝0上有定义，能否知道f(0)的值？

∵f(－0)＝－f(0) 即f(0)＝－f(0)  ∴2f(0)＝0 则f(0)＝0  ——可以用图进行说明

课堂小结：

(1)    数学知识：函数的奇偶性概念及其判断。

(2)    数学思想方法：归纳推理、数形结合思想。

作业：

补充：1、判断函数f(x)＝kx，k∈R的奇偶性。

2、设y＝f(x)，x∈D1为奇函数，y＝g(x)，x∈D2为偶函数，D1∩D2不是空集。求证：F(x)＝f(x)g(x)为奇函数。

(以上均做在作业本上)