高中数学5.2任意角的三角比教案

这是一份高中数学5.2任意角的三角比教案，共22页。PPT课件主要包含了典例分析，举一反三，易错警示，考点演练，∴原式成立等内容，欢迎下载使用。

3. 二倍角公式在S (α+β)中，令 β=α,可得到sin 2α= 2sin αcs α,简记为S2α.在C (α+β)中，令 β=α,可得到cs 2α= cs2α-sin2α,简记为C2α.在T (α+β)中，令 β=α,可得到tan 2α=2tan α1-tan2α，简记为T2α.
4. 在C2α中考虑sin2α+cs2α=1可将C2α变形为cs 2α=cs2α-sin2α= 2cs2α-1 = 1-2sin2α，它简记为C′2α.
5. 半角公式在C2α中,用 α代替α得 ,将公式变形可得
的推导方法是 与 两式相除，其公式为
6. 升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式：1+cs 2α=2cs2α;1-cs 2α=2sin2α.降幂公式：
7. 派生公式(1)(sin α±cs α)2= 1±sin 2α;(2)1+cs α= (3)1-cs α= (4)tan α+tan β= tan(α+β)(1-tan αtan β);
题型一 sin x+cs x,sin x-cs x,sin xcs x三者之间的转换问题【例1】 已知- ＜x＜0,sin x+cs x= 求sin x-cs x的值.分析 由（sin x-cs x）2=(sin x+cs x)2-4sin xcs x知,只需求出sin xcs x即可.
解 方法一：由sin x+cs x= 平方,得sin2x+2sin xcs x+cs2x= ,即2sin xcs x= ∵(sin x-cs x)2=1-2sin xcs x= 又- ＜x＜0,∴sin x＜0,cs x＞0,sin x-cs x＜0,∴sin x-cs x=
方法二：联立方程 sin x+cs x= ,① sin2x+cs2x=1.②由①得sin x= -cs x,将其代入②,整理,得25cs2x-5cs x-12=0,∴学后反思 sin x±cs x,sin xcs x之间的关系为(sin x±cs x)2=1±2sin xcs x,（sin x+cs x）2+(sin x-cs x)2=2，三者知其一，可求其二，但须注意角x的范围对结果的影响.
举一反三1. （2009·梅州月考）已知 ,求sin α及解析: 由题设条件，应用两角差的正弦公式,得即sin α-cs α= .①由题设条件，应用二倍角余弦公式,得
故cs α+sin α= .②由①和②得sin α= ,cs α=- ,因此tan α=- ,由两角和的正切公式,得
题型二 三角函数公式的灵活应用【例2】化简下列各式.
分析（1）先切化弦，然后逆用差角公式和倍角公式;（2）注意1±sin θ,1±cs θ形式的转化.
∴sin 4+cs 4＜0,cs 4＜0,∴原式=-2(sin 4+cs 4)-2cs 4=-2sin 4-4cs 4.
学后反思 对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对于一些固定形式套用相应的公式.
2. 化简（cs +sin ）（ cs -sin ）（ 1+tanθtan ）.
解析： 原式=csθ（1+tan θ·tan ）=cs θ+sin θ·tan =cs θ+2sin ·cs ·=cs θ+ =cs θ+1-cs θ=1.
题型三 三角恒等变换中角的拆、拼【例3】已知 且分析 抓住条件中的角“ ”、“ ”与结论中的角 的关系：
学后反思 掌握常用的拆角、拼角关系，如：
举一反三3. 已知 ,且0＜β＜α＜π2.(1)求 的值；(2)求β.
(2)由0＜β＜α＜ ,得0＜α-β＜ ,∵cs(α-β)= ∴由β=α-(α-β),得cs β=cs [α-(α-β) ]=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)
题型四 三角恒等式证明【例4】(14分)已知tan(α+β)=2tan β. 求证 ：3sin α=sin(α+2β).
分析 观察条件与结论间的差异可知:(1)函数名的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同.(2)角的差异是α+β,β;α,α+2β.通过观察可得已知角与未知角之间关系为：(α+β)-β=α;(α+β)+β=α+2β,由此可化异为同.证明 由已知tan(α+β)=2tan β,可得∴sin(α+β)·cs β=2cs(α+β)·sin β……………………………4′而sin(α+2β)=sin [(α+β)+β ]=sin(α+β)·cs β+cs(α+β)·sin β=2cs(α+β)·sin β+cs(α+β)·sin β=3cs(α+β)·sin β,…………………………………………………..8′
又sin α=sin [(α+β)-β ]=sin(α+β)·cs β-cs(α+β)·sin β=2cs(α+β)·sin β-cs(α+β)·sin β=cs(α+β)·sin β……………………………………………..……12′故sin(α+2β)=3sin α………………………………………………14′
学后反思分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.对于三角恒等式的证明，实质也是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.
举一反三4. 已知A、B为锐角，求证： 的充要条件是（1+tan A）·(1+tan B)=2.
证明：（充分性）∵(1+tan A)(1+tan B)=2,∴1+(tan A+tan B)+tan Atan B=2,且tan Atan B≠1,∴tan(A+B)（1-tan Atan B）=1-tan Atan B,∴tan(A+B)=1.∵0＜A＜ ,0＜B＜ ,0＜A+B＜π,∴A+B= (必要性)∵A+B= ,∴tan(A+B)=tan ，即 ,整理得（1+tan A）·(1+tan B)=2.综上，若A、B为锐角，则A+B= 的充要条件是(1+tan A)·（1+tan B）=2.
【例】若sin α= ,sin β= ,且α、β为锐角，求α+β的值.
错解 因为α为锐角,所以cs α= .又因为β为锐角，所以cs β= ,且sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β= .由于0＜α＜90°,0＜β＜90°,则0＜α+β＜180°,所以α+β=45°或135°
错解分析 上述解法欠严密，仅由sin(α+β)= ,0°＜α+β＜180°,而得到α+β=45°或135°是正确的，但题设中sin α= ＜12,sin β= ＜ .使得0°＜α+β＜60°,故上述结论是错误的.实质上本题是由于方法不当导致运算量加大或忽视角的范围限制而致错.我们若取α+β的余弦则易求得cs(α+β)= ,又由于0＜α+β＜π,故α+β= .这样就避免了上述角的范围的探求.因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三角函数名称，往往能化繁为简.
正解 ∵α为锐角，∴cs α= ,又∵β为锐角，∴cs β= .∴cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β= .又∵0＜α＜90°,0＜β＜90°,∴0°＜α+β＜180°,∵sin α= ＜ ,sin β= ＜ ,∴0°＜α+β＜60°,∴α+β= .
10. (2010·南通模拟)已知 =1,tan(β-α)=- ,求tan(β-2α)的值..
解析: 由 ,tan(β-2α)=tan［(β-α)-α］=
11. 求证.证明：方法一：.
方法二：∴原式成立.方法三：∴原式成立.