高一下册数学教案：4.4《指数函数和对数函数》（沪教版）

指数函数和对数函数　

教学目标

1．通过本节教学，使学生能从综合和应用的角度，进一步熟练指数函数、对数函数的概念、性质及其图象等基本知识，会解简单的指数方程和对数方程．

2．使学生在运用指数、对数知识时，能以函数理论为指导，注意数形结合法、换元法、分类讨论思想方法的运用．

3．通过本节教学，力求使学生取得对函数内容的理解、方法的运用上的综合提高．深化对函数思想的理解与运用，从而提高学生思维水平．

重点难点

本节课教学是在函数一般理论复习之后，通过以这两类常见函数为载体进一步巩固深化对函数概念及函数有关性质的理解．因此本节课的教学重点应放在与其它函数知识的联系，如函数单调性与实数大小比较的关联；及由指数函数、对数函数构成的复合函数和其它函数的性质研究．本节课的教学难点是通过指数函数、对数函数的复习，进一步体会函数思想，自觉使用数学思想方法解决有关综合问题．

教学过程

指数函数和对数函数是两类主要的常见函数，由于它们互为反函数，故对它们的研究注意利用反函数这个工具，把握两者的联系，并从联系的角度把握它们的概念、性质及图象．此外特别注意由它们构成的复合函数或较复杂函数性质的研究，注意在小综合题中提高对函数思想的认识．

一、指数函数、对数函数基础知识梳理与基本方法的运用

1．综合使用有关概念和运算法则，处理指数或对数式的运算

例1 　设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]．

分析 　此题意在通过等式关系考查指数函数和对数函数的概念和性质及指对基本运算．

解法一 　要由已知得到a，b，c的表示式，可以令3a=4b=6c=t，

解法二　 由题设联想2×3=6，在指数运算范围内也可完成．令

评述 　在指数式和对数式变换中如果只会套用公式．作简单直接计算．则难以获得正确结果．如果能自觉运用各种数学思想方法如分析　 法、综合法、方程的思想等，则很容易找出思路．此题除以上两种思路外，还有其它途径如用特殊值法来排除．

2．比较大小的三个基本层次

对于一般的两个实数的大小比较将放到不等式再进行系统复习．这里研究的比较大小，通常指两类数，一类称为幂形数，另一类称为对数形数，这两类数的大小比较通常需用到有关函数的单调性．

例2　 比较大小：(1)lg(2x+2)与lg(x+1)　 (2)0.32与log0.20.3

(3)logax与 2log2ax(1＜a＜2)

(1)分析　 如果把2x+2和x+1这两个数单独拿出来比大小，应对x进行分类讨论，而在这里则无须讨论．因为有对数函数定义域作保证．

解 　函数y=lg 在(0，+∞)上是增函数．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

当x＞-1时，(2x+2)-(x+1)=x+1＞0，所以2x+2＞x+1＞0，　　　　　 ②

因此　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 lg(2x+2)＞lg(x+1)．

评述　 这里用到的是构造函数的方法比较大小．其中lg(2x+2)＞lg(x+1)的得到必须是由以上①、②两条共同保证得到，特别是②，必须注明大于零的条件，以保证两个自变量在相应函数的单调区间内．

(2)分析　 这两个数不属于同一类型数，故不能直接构造函数比大小，可以间接利用特殊数比较大小．

这里0.32与log0.20.3显然都大于 0，也都小于 1，故不能借助0和

即

2log0.20.3＞log0.20.2，

0.32＜log0.20.3．

评述　 这里用到的方法是搭桥比较法又称间接比较法．间接比较的关键是恰当使用分析法，选择哪个数来搭桥是次要的，通过此题对这种方法有所认识理解才是重要的．

(3)分析　 两个实数的大小比较可将它们相减通过变形判断差的符号．

由于1＜a＜2，故lga＞0，lga＜lg2，lg 2a＞0，又x＞0，于是当0＜x＜1时，lgx＜0，可得logax＜2log2ax；当x=1时，lgx=0， 可得logax=2log2ax；当x＞1时，lgx＞0，可得logax＞2log2ax．

例3 　已知1＜x＜d， 令a=(logdx)2， b=logdx2， c=logd(logdx)，则 [　　　 ]．

A．a＜b＜c

B．a＜c＜b

C．c＜b＜a

D．c＜a＜b

分析　 此题是选择题，故可以利用特殊值法得到a，b，c的大小关系，不过如果能注意到a，b，c三个数内在结构上的联系，不妨构造函数，借助函数性质和图象解决，也不失为一种好办法．

解 　令logdx=u，则由1＜x＜d，得0＜u＜1，又

a=u2 (0＜u＜1＝，   b=2u(0＜u＜1＝，    c=logdu(0＜u＜1)．

如图1易知b＞a＞c．

评述　 此题借助函数图象，从形的角度比较大小，使问题变得更直观．

3．指数方程、对数方程的基本类型归纳

例4 　解下列指数方程：

(1)3·16x+36x=2·81x；

(2)5x+1=3x2-1．

解　 (1)原方程变形为3·42x+4x·9x=2·92x，可化为

所以

即

(2)原方程两边取对数得(x+1)lg5=(x2-1)lg 3，即(x+1)[lg5-(x-1)lg3]=0， 解得x1=-1或x2=log315．

所以原方程的解为x=-1或x=log315．

评述　 解指数方程的常用方法有化同底法，取对数法及换元法等．通过这些方法将指数方程化为代数方程求解．

例5 　解下列对数方程：

解　 (1)原方程可化为4(2-x)=(x-1)2，即

x2+2x-7=0．

所以

log3x=-2或 log3 x=1．

所以

评述　 解对数方程的基本方法有化同底法、换元法等．其中要特别注意对数换底公式及对数运算法则的合理使用．由于解对数方程一般都是非同解变形，故必须要进行验根．解指数方程，对数方程的问题既是考查基本运算能力，又是考查对数函数，指数函数性质在解方程中的应用．

二、综合运用函数概念和性质，解决由指数函数、对数函数构成的复合函数或其它函数的问题

例6　 (1)已知 -1≤x≤2，求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值；

分析　 (1)此函数为一个指数函数和一个二次函数的复合函数，处理这类问题的基本方法即用换元法转化为区间上二次函数的最值问题．

x∈R求出u＞0，从而可以得到y的取值范围．当然此题也可以借助

2x这个常见函数的值域建立一个关于y的不等式．

-(t-3)2+12，故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即 x=2时，f(x)取最小值-24．

解得-2＜y＜1．所以函数的值域为(-2，1)．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)指出函数f(x)的单调区间；

(4)求函数f(x)的反函数f-1(x)．

分析　 此题是由指数或对数函数构成的复合函数中较为典型的一例，意在通过此题全面熟悉把握复合函数性质的研究，体会换元法在复合函数研究中的作用．

所以f(x)的定义域为{x|x＜2b或x＞-2b}．

(2)对f(x)定义域内任意x，有

所以f(x)为奇函数．

当a＞1时在(0，+∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，+∞)上是减函数．

它的单调性直观观察可得，如图2，于是有当a＞1时，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，+∞)上都是增函数，当0＜a＜1时，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，+∞)上都是减函数．

例8 　已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是　　　 [　　　 ]．

A．(0，1)

B．(1，2)

C．(0，2)

D．(2，+∞)

分析　 作为选择题，此题解法相当多，但无论哪种解法，都要注意任意函数的单调区间必定是其定义域的子区间，还要注意复合函数单调性的规律．

这里决定a 的取值范围的条件有三个：(1)使y=loga(2-ax)有意义得到的a＞0，a≠1，2-ax＞0；(2)保证x的复合函数在[0，1]上是减函数，且u=2-ax(a＞0)为减函数而得到的a＞1；(3)保证区间[0，1]是函数定义域的子区间而得到的条件，综合起来即

解法二 　此题若利用排除法，还可以有如下处理思路：当a∈(0，1)时，若0≤x1＜x2≤1，则2-ax1＞2-ax2，故loga(2-ax1)＜loga(2-ax2)即y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的增函数，不是减函数，故排除A，C．当a＞2时，函数y在x=1处无定义，排除D，选B．

评述　 此题作为选择题应优先考虑特殊方法，而在一个题目的求解过程中也不一定用单一办法来处理，可以多种方法综合使用，这也利于对函数概念和性质有更加透彻全面的理解和掌握．

域为[loga(n-1)，logaa(m-1)]．

(1)求证： m＞3；(2)求a的取值范围．

n＞m，又由函数值域可知n＞1，m＞1，所以n＞m＞3，故m＞3得证．

y=logau为减函数，所以y=f(x)在[m，n]上为减函数，从而f(x)的值域为[f(n)，

ax2+(2a-1)x+3-3a=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

由于m，n＞3，故方程①应有大于3的两不等实根，注意到a＞0，所以应有

评述　 此题是从复合函数角度较综合考查对数的概念，函数单调性，且巧妙地利用方程根的概念将问题转化为一元二次方程根的研究．同时提醒学生注意，求取值范围的题目一般要求寻求使问题成立的充要条件．因此对问题进行变换时注意等价转化．

三、自觉应用数学思想方法，解决有关函数的小综合题

例10 　已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a＞1＞b＞0)．

(1)求y=f(x)的定义域；

(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴．

分析　 此题第(2)问是从几何角度探索函数图象的特征，但此函数图象并不会画，也不易画出，因此应转化为代数角度探索该函数相关的性质．

(0，+∞)．

(2)先证f(x)在(0， +∞)上是增函数．

任取0＜x1＜x2，由a＞1＞b＞0，知ax1＜ax2，bx1＞bx2，所以0＜ax1-bx1＜ax2-bx2．因此 lg(ax1-bx1)＜lg(ax2-bx2)，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在(0，+∞)上是增函数．

假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)， B(x2，y2)，使直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1=y2．这与f(x)在(0，+∞)上是增函数(y1=y2则x1=x2)相矛盾．故在函数f(x)的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴．

例11　 函数f(x)=logax在区间[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立，求实数a的取值范围．

分析　 此题从题意出发是要解无数多个关于a的不等式的问题，这实际上是无法操作的，所以必须将问题等价转化为有限个不等式的求解问题．而转化需在函数思想指导下来完成．

解　 依题意f(x)=logax在[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立|logax|＞1对任意x∈[2，+∞)都成立logax＞1或logax＜-1对任x∈[2，+∞)总成立y=logax在[2，+∞)上的最小值大于1或y=logax在[2，+∞)的最大值小于-1．

而函数y=logax(x≥2)只有a＞1有最小值loga2，只有当0＜a＜1时，有最大值loga2，于是有

评述　 此题处理的过程体现了对等价变换和函数思想的认识与应用．

例12 　已知函数f(x)=log2(ax2+2x+1)．

(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．

分析　 此题首先需将问题等价转化为熟悉的问题．其次对含有字母系数不等式解的情况的讨论注意全面准确．

当a=0时，不等式化为2x+1＞0，显然不合题意；

综上可得，当a＞1时，f(x) 的定义域是R．

当a=0时，函数为u=2x+1，值域为R．符合题意；

解得0＜a≤1．

综上所述当0≤a≤1时，f(x)的值域为R．

评述　 此题解决的关键是等价变换和分类讨论的思想的应用．特别是分类讨论思想的应用要引起重视，分类讨论注意对讨论的起因的认识，这是理解和运用分类讨论的关键．

(1)求f(x)的定义域；

(2)指出f(x)的单调性，并证明你的结论；

(3)求满足f(x)＜2的x的取值范围．

分析　 此题虽然是函数的常规题，但在研究方法上有值得思考的地方．如对f(x)单调性的研究，若直接依定义研究，则遇到较复杂的对数运[

f(x)＜2，若直接求解，则需解对数和无理混合型不等式，比较复杂，若利用函数单调性，把2看作f(x)的某个函数值，这样只需解一个无理方程，在运算上会比较简捷．

由x1＜x2≤-1，知

所以g(x2)-g(x1)＜0，即g(x2)＜g(x1)．

当a＞1时，f(x2)＜f(x1)，即f(x)为减函数；

当0＜a＜1时，f(x2)＞f(x1)，即f(x)为增函数．

当0＜a＜1时，方程无解；

当0＜a＜1时，f(x)在(-∞，-1]上是增函数，故f(x)≤f(-1)=0＜2．因此定义域内任意x均满足f(x)＜2，所以x≤-1．

分析　 解含有参数的对数方程，可把方程等价转化为一个混合组，这里不必孤立地解其中的每一个方程或不等式，然后再求各解集的交集，而可把“混合组”当作一个研究系统，着眼于系统的等价变换．

当然2x-3≠0．

因为k＞0，Δ=16-16k=16(1-k)，故当0＜k＜1时，方程⑥有两

当k＞1时，方程⑥无实根．

评述　 这里要求学生把等价变换思想与分类讨论的思想综合予以运用，且应把握“系统”等价．

能力训练

1．设5x=1.5，(0.5)y=0.75，则x，y满足　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]．

A．x＞0，y＞0  B．x＜0，y＜0   C．x＞0，y＜0   D．x＜0，y＞0

2．若loga2＜logb2＜0，则正确的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]．

A．0＜a＜b＜1  B．0＜b＜a＜1    C．a＞b＞1    D．b＞a＞1

3．如果0＜a＜1，且x＞y＞1，则下列不等式中正确的是　　　　　 [　　　 ]．

A．xa＜ya   B．logax＞logay   C．a-x＞a-y    D．ax＞ay

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]．

   B．(0，2)   C．[2，+∞]   

5．若0＜a＜1， 则函数f(x)=loga(x+4)的图象一定不通过

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]．

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

6．使函数y=log2(x2-2|x|)的单调递增的区间是　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]．

A．(-∞，-2)  B．(0，1)   C．(0，2)   D．(2，+∞)

7．已知logab=-2，那么 a+b的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　 　]．

值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]．

A．4   B．8   

9．已知奇函数f(x)满足f(x-1)= f(x+2)对任意x∈R成立，并且当

10．函数f(x)=loga(a-ax)(a＞0，a≠1)的定义域为_____；值域为_____．

______．

______．

13．已知0＜a＜1，那么x的方程a|x|=|logax|的实根的个数是______．

14．已知函数f(x)=2+log3x，x∈[1，9]，则y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是______．

实数a的取值范围是______．

16．解下列方程：

(3)5x-1·103x=8x；　　　　　　　　　　　　 (4)log3(x-1)=log9(x+5)；

(5)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1)．

17．已知实数p，q满足lg(log3p)=lg(2-q)＋lg(q+1)，试求实数p的取值范围．

18．已知函数f(x)=ax在闭区间[-2，2]上的函数值总小于2，求实数a的取值范围．

19．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数．

(1)求f(x)的定义域；　　　　　　　　　　　　　　　 (2)求f(x)的值域．

21．设0＜a＜1，x和y满足logax+3logxa-logxy=3．如果y有最大

答案提示

1．A

2．B

3．C

4．A

5．A

6．D

7．A

8．C

9．A

10．a＞1时(-∞，1)，0＜a＜1时，(1，+∞)；a＞1时(-∞，1)，0＜a＜1时，(1，+∞)．

11．-log2(x+2)-1    

13．2   14．13    15．-4＜a≤4

20．(1)(1，p)；(2)当p＞3时，f(x)的值域为(-∞，2log2(p+1)-2]；当1＜p≤3时，f(x)的值域为(-∞，1+log2(p-1))

设计说明

本节课在设计上通过两类具体函数的研究，力求全面复习函数概念、函数性质、函数图象，并求得在应用、理解上的深度，且以这个知识为载体体会函数思想的应用．在教学过程中，既要注意教师主导作用；对函数基础知识、基本方法中规律性的东西进行归纳、概括，同时又要让学生思维处于积极状态，让学生参与到方法的归纳，规律的探索之中，有些题目让学生充分思考之后，教师再作点评，有些题目则教师引导，点明思路，学生操作．教师点评来完成．以保证复习真正落实，有实效．