高一下册数学教案：4.2《反函数》（沪教版）
展开一. 教学内容：
反函数
二. 本周重难点：
1. 重点：
反函数的概念，互为反函数的函数图象间的关系。
2. 难点：
求反函数的方法，解决有关反函数的问题。
【典型例题】
[例1] 求下列函数的反函数。
（1）（）
（2）（）
（3）（）
（4）（）
解：
（1）由得 ∴
又时，
即原函数的值域
（2）（）
由得 ∴
∵ ∴ ∴ ∴
又 在上是增函数 ∴ 值域为
∴ 所求反函数（）
（3）由得 ∴
∵ ∴
又 时，为减函数 ∴ 值域为
∴ 所求反函数为（）
（4）由，有
∵ ∴ ∴
∴ 又 时，为减函数
∴ 值域为
[例2] 已知和互为反函数，求m，n的值。
解：
由 得
∴ 的反函数是（）
∵ 与表示同一函数 ∴
∴
[例3] 已知：，求的表达式。
解：
（）
[例4] ，求的值。
解：
方法一：由得 ∴
方法二： ∴
[例5] 若点（1，2）既在的图象上，又在其反函数的图象上，求、的值。
解：
∵ 点（1，2）（2，1）都在的图象上
∴ ∴
[例6] 已知函数的图象关于直线对称，求实数m的值。
解：
∵ 函数的图象关于直线对称 ∴ 它的反函数是它本身
在中，令得，于是点（5，0）在函数的图象上，所以点（5，0）关于直线的对称点（0，5）也在函数的图象上。
将，代入得
[例7] 设，的图象与的图象关于直线对称，求的值。
解：
∵
将、互换应该就是即 ∴
[例8] 已知的反函数的图象的对称中心是（，3），求的值。
解：
∵ 的对称中心为（，3） ∴ 图象的对称中心为（3，）
又
∴ 即
【模拟试题】（答题时间： 30分钟）
一. 选择题：
1. 函数的反函数是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知（a、b、c是常数）的反函数，那么（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4. 函数的反函数为，则的反函数是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题：
1. 已知函数有反函数，则
2. 点P在的图象上，又在其反函数的图象上，则P点的坐标为
3. 直线与直线关于直线对称，则 ，
4. 若，则
三. 解答题：
1. 求下列函数的反函数。
（1） （2）
2. 已知函数
（1）求函数的反函数的值域
（2）若（2，3）是反函数图象上的一点，求函数的值域
3.若函数在其定义域上是单调递增函数，求证它的反函数也是增函数。
试题答案
一.
1. D 2. B 3. A 4. C
二.
1. m 2.（2，2） 3. ；6 4.
三.
1.（1） （2）（）
2. 解：
（1）由函数得的定义域为
∴ 它的反函数的值域为
（2）若（2，3）是反函数图象上的一点，则（3，2）在原来的函数的图象上，于是，即，所以，
∵ 反函数的定义域为
∴ 原函数的值域为
3. 解：
在的定义域内任取、，且
需证为此令，
于是有， ∴
而在其定义域上是单调函数 ∴ 即
∴ 也是增函数
