2021学年第16章 排列组合和二项式定理综合与测试教学设计

16．4排列组合综合应用（3）

一、          教学内容分析：

本节内容是学生学习了：计数原理——加法原理与乘法原理，排列与排列数；组合与组合数之后的内容，学生对排列组合知识已经有了初步的认识，同时也掌握了简单的排列组合问题.因此本节内容的安排旨在：对先前所学内容的进一步加深与整合，使学生在掌握了简单排列组合问题的基础上也能处理一些复杂的排列组合问题.本节内容的教授是对这部分内容的总结与提升.本节内容分两节课讲授.

二、          教学目标设计

1. 掌握排列组合问题的基本类型，体会解决排列组合综合题的方法与步骤；

2. 体会在解决排列组合问题的过程中，对问题的观察、分析、类比、归纳的研究方法；

3. 通过对排列组合实际问题的解决，提高学习数学的兴趣.

三、          教学重点及难点

重点：排列组合综合题的基本型

难点：1. 对各种类型特征的理解

      2. 按照各种类型特征对排列组合综合题的归类

四、          教学用具准备

    多媒体设备

五、          教学流程设计

六、          教学过程设计

  (一)、复习引入：

1. 分类计数原理（加法原理）

完成一件事，有几类办法，在第一类中有种有不同的方法，在第2类中有种不同的方法……在第n类型有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.

2. 分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法.

3. 排列：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

4. 组合：从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

  (二)、授新课：

1. 排列组合综合题基本型：

i).“住店”型：即“允许重复排列”型.

此类问题要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复.把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，然后直接利用乘法原理求解的方法称为“住店法”.

例1：七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能的种数有（    ）

A.75       B.57      C.A     D.C

解：因同一学生可同时夺得几项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作七家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种，选A. .

ii). 简单型：“集团”型，“插空”型，“隔板”型，“定序”型.

这几种简单类型在前几节中已有详细阐述，此处不再敖述.

iii).“先取后排”型：

对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略.

例2：3名医生与6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生与2名护士，不同的分配方法有（   ）

A.90种     B.180种        C.270种      D.540种

解：第一步，从6名护士中任选2名，有种选法；从余下的4名护士中选出2名，有种选法；第二步，把三组作全排列，有种选法.所以不同的分配方法有：=540种.故选D.

iv).“枚举”型：

当题中附加条件较多，直接解决困难时，用枚举法逐步寻找规律也是行之有效的方法.

例3. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（    ）

A.6种   B.9种   C.11种   D.23种

解：用枚举法逐步解决.

第一方格内可填2或3或4.如填2，则第二方格内可填1或3或4.若第二方格内放1，则第三方格只能填4，第四方格填3.若第二方格填3，则第三方格应填4，第四方格应填1.同理，若第二方格填4，则第三、四方格应分别填1或3.因而第一方格放2共有3种方法.同理，第一格放3或4也各有3种，所以共有9种方法，选B. .

v). “间接”型：

如果一个问题直接考虑，比较复杂，很难得出结论，可考虑采用“间接法”.

例4. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（    ）

A.144种   B.147种   C.150种   D.141种

解：从10个点中任取四点，总数为.其中四点共面的有三种情况：①共面的6个点中任意4点，共有4种；②任一棱上的3点与其对棱中点共面的共有6种；③相邻两面三角形中位线的4个端点共面，共有3种.所以适合条件的取法有=141（种），因此选D. .

2. 课堂练习：

(1). 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（     ）

（A）10种 （B）20种 （C）25种 （D）32种

解：完成此事共分5步，第一步；将第一位同学报名课外活动小组有2种；第二步：将第二位同学报名课外活动小组也有2种，依次类推，由分步计数原理知共有种不同报名方法.故选D..

(2). 将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（   ）

 A.120        B.240        C.360         D.720

解：从10个球中取出7个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.故应填240.

(3). 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（　　）

 A.108种      B.186种        C.216种      D.270种

解析1：以女生为主分三类：①1女2男有种；②2女1男 种；③3女有种，故共有（++）=186种选派方案.选 B. .

(4). 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （    ）

 A.8种  B.12种  C.16种  D.20种 

解：从正方体的6个面中选取3个面共有种，剔除8个角上3个相邻平面，即. 选 B. .

  (三)、小结：

    (略)

  (四)、作业：

(略)

七、          教学设计说明：

本节课着重以排列组合应用题的基本类型为主线展开的.关于解排列组合综合题的方法，文章不计其数，各有各的见解，而本教案（排列组合综合俄应用(1)）主要是从内容上来划分的，分为：住店型，简单型（包括：集团，插空，隔板，定序），先取后排型，枚举型，间接性.整节课首先复习引入，讲解例题，得到几种基本型，然后再通过课堂练习巩固，而课堂练习的安排是在例题的基础上加深难度，是稍微复杂的题目.最后布置作业，进一步加深理解.

这节课主要还是以老师讲授为主，但也不忽视学生的主观能动性，在课堂练习的安排上加深一点难度，给学生空间，发挥他们的才智！本节课中的例题和课堂练习教师可根据学生的实际选用.