沪教版高中一年级 第一学期3.3函数的运算课时训练

抽象函数问题的“原型”解法

抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。

所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。

抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。

一、中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）

1、——(为常数）

2、——=（＞0且≠1）

3、—— (＞0且≠1)

4、——(为常数）

5、或

－－=(为常数）

    6、－－=

二、“原型”解法例析

【例1】   设函数满足，且()=0，、∈R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。

分析与简证：由

想：=2coscos

原型：=，为周期函数且2π为它的一个周期。

猜测：为周期函数，2π为它的一个周期

令=+，= 则=0

∴

∴为周期函数且2π是它的一个周期。

【例2】   已知函数满足，若，试求(2005)。

分析与略解：由

想：(+)=

原型：=为周期函数且周期为4×=π。

猜测：为周期函数且周期为4×1=4

∵==-

∴(+4)=

∴是以4为周期的周期函数

又∵f(2)=2004

∴===-

∴f(2005)=- 

【例3】   已知函数对于任意实数、都有，且当＞0时，＞0，(-1)=-2，求函数在区间[-2，1]上的值域。

分析与略解：由：

想：(+)=+

原型：＝（为常数）为奇函数。＜0时为减函数，＞0时为增函数。

猜测：为奇函数且为R上的单调增函数，且在[－2,1]上有∈[－4,2]

设<且，∈R  则－>0  ∴(－)>0

∴==＞0

∴,∴为R上的单调增函数。

令==0,则(0)=0,令=－，则(－)=－

∴为R上的奇函数。

∴(-1)=- (1)=-2  ∴(1)=2，(-2)=2(-1)=-4

∴-4≤≤2(x∈[-2,1])

故在[-2,1]上的值域为[-4，2]

【例4】   已知函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当<0时，＞1

（1）当＞0时，求的取值范围

（2）判断在R上的单调性

分析与略解：由：

想：

原型：=（＞0, ≠1），=1≠0。当＞1时为单调增函数，且＞0时，＞1，＜0时，0＜＜1；0＜＜1时为单调减函数，且＜0时，＞1，＞0时，0＜＜1。

猜测： 为减函数，且当＞0时，0＜＜1。

（1）对于一切、∈R，且(0)≠0

令==0，则(0)=1，现设＞0，则-＜0，∴f(-) ＞1

又(0)=(-)= =1  ∴= ＞1

∴0＜＜1

（2）设<，、∈R，则－<0，(－)＞1且

＞1

∴， ∴f(x)在R上为单调减函数

【例5】   已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1，

（1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)≤1，求的范围；

（4）试证()=（n∈N）

分析与略解：由：

想：（、∈R+）

原型：（＞0，≠0）

猜测：有(1)=0，(16)=2，……

（1）令=1，=4，则(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0

（2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2

(3)+(－3)=［(－3)］≤1=(4)

在（0，+∞）上单调递增

∴

∴ ∈（3，4]

（4）∵

∴

【例6】   已知函数对于一切正实数、都有且＞1时，＜1，(2)=

(1)求证：＞0；（2）求证：

（3）求证：在（0，+∞）上为单调减函数

（4）若=9，试求的值。

分析与简证：由，

想：

原型：（为常数（=）

猜测：＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，……

(1)对任意＞0，=)=≥0

假设存在＞0，使=0，则对任意＞0

=f(==0，这与已知矛盾

故对任意＞0，均有＞0

（2）∵，＞0,  ∴(1)=1

∴()=(·)=(1)=1   ∴

(3)、∈(0,+∞)，且＜，则＞1，∴()＜1，

∴  即

∴在（0，+∞）上为单调减函数。

（4）∵(2)=，()=9  ∴(2)()=1

∴(2)=1=f(1)，而在(0，+∞)是单调减函数

∴2=1   即=

综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象——具体——抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。