2009年广东高考（理科）数学试题及答案

绝密★启用前                                  试卷类型：B

2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

          5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高

一、   选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

１．巳知全集，集合和的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

A．３个             Ｂ．２个

Ｃ．１个            Ｄ．无穷个

２．设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，

Ａ．８     Ｂ．６    Ｃ．４   Ｄ．２

３．若函数是函数的反函数，其图像经过点，则

Ａ．    Ｂ．      Ｃ．       Ｄ．

3。

４．巳知等比数列满足，且，则当时，

Ａ．       Ｂ．       Ｃ．       Ｄ．

4

5．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是

Ａ．①和②     Ｂ．②和③     Ｃ．.③和④     Ｄ．②和④

6．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为

Ａ．６     Ｂ．２    Ｃ．     Ｄ．

7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

Ａ．36种      Ｂ．12种      Ｃ．18种      Ｄ．48种

8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是

A．在时刻，甲车在乙车前面

B．时刻后，甲车在乙车后面

C．在时刻，两车的位置相同

D．时刻后，乙车在甲车前面

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（９～１２题）

９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的       ，表示的样本的数字特征是       ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）

１０．若平面向量满足，平行于轴，，则       ．

11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为  _________________     ．

12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则       ，       ．

（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）

13．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则       ．

14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为       ．

15．(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点， 且，则圆的面积等于       ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，

16．(本小题满分12分）

已知向量互相垂直，其中．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

17．（本小题满分12分）

根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5

（1）求直方图中的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

(结果用分数表示．已知,

,

）

18．（本小题满分１４分）

如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点分别是点Ｅ、Ｇ在平面内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内

的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线；

（３）求异面直线所成角的正弦值

19．（本小题满分１４分）

已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．

（１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；

（２）若曲线与有公共点，试求的最小值．

20．（本小题满分１４分）

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．

（１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；

（２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．

21．（本小题满分１４分）

已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．

（１）求数列的通项公式；

（２）证明：

答  案

1.解：，，所以

     故，选B

2. 解：因为 ，， ，所以满足的最小正整数的值是4。故，选C

.解：由函数是函数的反函数，可知，

又其图像经过点，即，所以a=, 。故答B

。解：在中，令n=5,得，令n=3,得，

又，所以，，从而解得，公比，，

，，

所以1+3+…+（2n-1）=

5.解： 显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C,  答 D.

6.解：依题意，可知，所以，

      ==28.

所以，力的大小为，  答D。

7。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有种，

若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有种，

故， 总的不同的选派方案共有12+24=36种。     答A。

8. 解：因为速度函数是路程函数的导函数，即，所以，

        根据定积分的定义，比较图中速度曲线分别与x轴及直线，

围成的图形的面积，即可看出，应选A。

9.解：记时求得的S值为,记初始值为,

     则,,

,……,

故,答案为(1)  ；(2)这n件产品的平均长度。

10。解：设，则，依题意，得

      ，解得或，所以或。

    答： 或。

11.解：设椭圆G的方程为，焦半径为c,

       依题意，得2a=12，且， 解得a=6，c=, 所以

所以， 椭圆G的方程为。

12。解：依题意，得

，解得

答：    ；

13．解：直线化为普通方程是，

该直线的斜率为，

         直线（为参数）化为普通方程是，

该直线的斜率为，

则由两直线垂直的充要条件，得，  。

14。解：

          解得且。所以原不等式的解集为{x|且}

15．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90O，

所以△AOB为等腰直角三角形，又，

所以，圆O的半径R=，圆的面积等于

解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理，

得，解得R=，

所以，圆的面积等于

16．解：（1）∵ 向量与互相垂直，

∴ ，即①，

又 ②

① 代入②，整理，得，

由，可知，

∴，代入①得

故  ， 。

（2）∵，

∴

         将（1）的结果代入其中，得

            整理，得③，    又④

③代入④，整理，得

由，可知，

所以，解得。

17.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，

依题意，得

又

            所以 。

（2）一年中空气质量为良和的天数为    （天）；

一年中空气质量为轻微污染的天数为    （天）；

（3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天）

     所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是，

     设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B（7，）

          ，（k=0,1,2,…,7）

设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则

=

        ==.

18.(1)解：∵点D,分别是点A,Ｅ,Ｇ在平面内的正投影．

∴四边形在平面内的正投影为四边形

          又⊥平面 ，且

         所以，所求锥体的体积为

=

（２）证明：∵⊥平面 ，平面 ，

∴⊥

∵在正方形中，分别是的中点，

∴，

∴        

∴⊥

 又∩=

∴；

（３）设的中点为H，连结EH，

         则EH∥∥CD，且EH==CD=2，

 ∠AEH就是异面直线所成角

又CD⊥平面，

∴EH⊥平面

      在RT△AEH中，EH =2，AH=，所以EA=

所以，异面直线所成角的正弦值为。

解法2：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为

，

又面，，∴.

（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，

∴，，即，，

又，∴平面.

（3），，则，设异面直线所成角为，则.

19.解：（1）解曲线C与直线的联立方程组,得,,

        又，所以点A，B的坐标分别为

       ∵点是线段的中点

∴点的坐标为

∵点是上的任一点，且点与点和点均不重合．

∴ ，     即，且

设线段的中点为(x,y),

则点M的轨迹的参数方程为（s为参数，且）；

消去s 整理，得，且

所以，线段的中点的轨迹方程是，；

（２）曲线可化为，

它是以G(a,2)为圆心，以为半径的圆，

设直线与y轴相交于点E，则E点的坐标为E(0,2)；

自点A做直线的垂线，交直线y=2 于点F，

在RT△EAF中，∠AEF= ，，所以，

∵ ，

 ∴当且圆G与直线相切时，圆心G必定在线段FE上，

且切点必定在线段AE上，

于是，此时的a的值就是所求的最小值。

当圆G与直线相切时 ，

   解得，或者（舍去）

所以，使曲线G与平面区域D有公共点的a的最小值是．

（备注：讨论圆G与直线切点的位置的必要性。若圆G的半径大于|AF|,则圆G与直线的切点将落在线段EA的延长线上，此时，圆G与平面区域D没有公共点，这时令圆G过点A，求出的a 的两个值，其中的那个较小的数，才是所求。）

20.解：设二次函数的解析式为

        则它的导函数为，

∵  函数的图像与直线平行，

∴  2a=2，解得a=1,

所以 ，

∵在处取得极小值

∴，即，解得。

所以 ，=（）

（1）设点点P（，）为曲线上的任意一点

则点P到点的距离为

由基本不等式定理可知，

当且仅当时，等号“=”成立，此时=

又已知点P到点的距离的最小值为，所以令

两边平方整理， 得

当时，，解得

当时，，解得

所以，的值为或者；

（2）函数令=（）

令，即（），

整理，得（），①

函数存在零点，等价于方程①有非零实数根，

由可知，方程①不可能有零根，

当k=1 时，方程①变为，解得，方程①有唯一实数根，

 此时， 函数存在唯一的零点；

当k≠1 时，方程①根的判别式为，

 令=0，解得，

方程①有两个相等的实数根，

   此时， 函数存在唯一的零点；

令>0，得m(1-k)<1 ,

当m>0时，解得，

当m<0时，解得，

以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根

，

 此时， 函数存在两个零点

，

综上所述，函数存在零点的情况可概括为

当k=1 时，函数存在唯一的零点；

当时，函数存在唯一的零点；

当 m>0且，或者m<0且时，函数存在两个零点

，。

21.（1）解：曲线可化为，

         所以，它表示以为圆心，以n 为半径的圆，

         切线的方程为，

         联立，消去y 整理，得，①

           ，

          令，解得，

         此时，方程①化为

               整理，得，解得，

          所以 

∴数列的通项公式为

数列的通项公式为。

（２）证明：∵，

  ∴

                    ==

       ∵=，又

          令，则，

要证明，只需证明当时，恒成立即可。

          设函数，

           则，

          ∵ 在区间上为增函数，

∴当时，，

              ∴在区间上为单调递减函数，

∴ 对于一切很成立，

∴ ，即=

综上，得