高中沪教版12.1曲线和方程课后练习题

2.3.1 双曲线的标准方程

一、填空题

1．3<m<5是方程＋＝1表示的图形为双曲线的________条件．

2．双曲线ky2－8kx2＋8＝0的一个焦点为(0,3)，则k＝________.

3．已知双曲线－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为________．

4．F1、F2为双曲线－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．

5．已知双曲线的焦点在y轴上，且a＋c＝9，b＝3，则双曲线的标准方程是________．

6．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________．

7．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足PF1·PF2＝32，则∠F1PF2＝________.

8．椭圆＋＝1(m>n>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1·PF2的值为________．

9．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程是________．

二、解答题

10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．

如图所示，在△ABC中，已知AB＝4，且内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．

12．设点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差为2|m|，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．

答案

1解析：当3<m<5时，m－5<0，m2－m－6＝(m＋2)·(m－3)>0，∴该方程表示的图形为双曲线．

当方程表示的图形为双曲线时，则(m－5)(m2－m－6)<0，即(m－5)(m＋2)(m－3)<0，

解得m<－2或3<m<5.

∴3<m<5是方程＋＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件．

答案：充分不必要

2解析：将ky2－8kx2＋8＝0化为标准方程kx2－y2＝1.∵一个焦点为(0,3)，∴焦点在y轴上，即方程可化为－＝1，∴a2＝－，b2＝－，又∵c＝3，

∴－－＝9，∴k＝－1.

答案：－1

3解析：F1(－3,0)，设M(－3，y0)，代入双曲线方程求出|y0|＝，即MF1＝，又F1F2＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F1到直线F2M的距离d＝＝＝.

答案：

4解析：∵|PF1－PF2|＝2，∴PF＋PF－2PF1·PF2＝4，即F1F－2PF1·PF2＝4，

∴20－4＝2PF1·PF2，

∴PF1·PF2＝8.

∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝4.

答案：4

5解析：∵b＝3，∴c2＝a2＋9，又∵a＋c＝9，∴c＝5，a＝4，

∴双曲线的标准方程是－＝1.

答案：－＝1

6解析：∵双曲线的方程为－＝1，∴a>0，∴焦点在x轴上．又∵椭圆的方程为＋＝1，∴a2<4.∵a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，∴a1＝－2(舍去)，a2＝1，故a＝1.

答案：1

7解析：设∠F1PF2＝α，PF1＝r1，PF2＝r2.

在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝r＋r－2r1r2cosα.

∴cosα＝＝＝0.

∴α＝90°.

答案：90°

8解析：如图，根据椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2，∴(PF1＋PF2)2＝4m.①

根据双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2，

∴(PF1－PF2)2＝4a.②

由①－②，得PF1·PF2＝m－a.

答案：m－a

9解析：法一：设双曲线的标准方程为－＝1，

∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1.①

∵c＝2，∴a2＋b2＝(2)2.②

由①②得

故所求双曲线的标准方程为－＝1.法二：设双曲线方程为－＝1(－4<k<16)，将点(3，2)代入，得－＝1，解得k＝4或k＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝1.

答案：－＝1

10解：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，所以c＝3.

又点A的纵坐标为4，则横坐标为，于是有

解得

所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

11解：如图所示，以边AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．设△ABC三内角A，B，C所对边长分别为a′，b′，c′.

由正弦定理＝＝＝2R及2sinA＋sinC＝2sinB得2a′＋c′＝2b′，即b′－a′＝.

∴CA－CB＝AB＝2<AB.

由双曲线的定义知点C的轨迹为双曲线的右支．

∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.

∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．

12解：设点P的坐标为(x，y)，依题意，得＝2，即y＝±2x(x≠0)　①.因此，点P(x，y)，M(－1,0)，N(1,0)三点不共线且PM≠PN，则|PM－PN|<MN＝2.因为|PM－PN|＝2|m|>0，所以0<|m|<1.因此，点P在以M，N为焦点的双曲线上(除去与x轴的两个交点)，故－＝1(y≠0)　②.将①代入②，得x2(1－m2)－4m2x2＝m2(1－m2)，解得x2＝.因为1－m2>0，所以1－5m2>0，解得0<|m|<，即m的取值范围为∪.