沪教版高中二年级 第二学期11.1直线的方程同步练习题

11．1 （１）直线方程

　一、教学内容分析

本节的重点是直线的方程的概念、直线的点方向式方程．用向量方法推导直线方程是二期课改的亮点之一，体现了从几何角度出发，除两点确定一条直线外，确定直线需要两个独立的条件：点和方向.利用给定的条件，通过向量平行的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程.

本节的难点是理解直线方程的定义.通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义.通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.

二、教学目标设计

理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心.

三、教学重点及难点

直线的方程的概念、直线的点方向式方程；理解直线方程以及点方向式方程的推导.

四、教学流程设计

五、教学过程设计          

一、解析几何发展史

解析几何的主要思想：用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数运算.

二、讲授新课

（一）  直线方程

定义：对于坐标平面内的一条直线，如果存在一个方程，满足（1）直线上的点的坐标都满足方程；（2）以方程的解为坐标的点都在直线上.那么我们把方程叫做直线的方程.

从上述定义可见，满足（1）、（2），直线上的点的集合与方程的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系.

（二）  点方向式方程

1、概念引入

在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.

2、概念形成

       直线的点方向式方程的定义

在平面上过一已知点，且与某一方向平行的直线是惟一确定的，我们在直角坐标平面中求该直线的方程．

       直线的点方向式方程的推导

建立平面直角坐标系，设的坐标是，方向用非零向量表示.

设直线上任意一点的坐标为，由直线平行于非零向量，故.根据的充要条件，得①；反之，若为方程①的任意一解，即，记为坐标的点为，可知，即在直线上.综上，根据直线方程的定义知，方程①是直线的方程.

当时，方程①可化为②.值得注意的是：方程②不能表示过且与坐标轴垂直的直线．事实上当时，方程①可化为③，表示过且与轴垂直的直线；当时，方程①可化为④，表示过且与轴垂直的直线.

我们把方程叫做直线的点方向式方程，非零向量叫做直线的方向向量.

3、概念深化

从上面的推导看，方向向量是不唯一的，与直线平行的非零向量都可以作为方向向量.

由点方向式易得，过不同的两点的直线的方程是.

4、例题解析

例1 观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量.

①;    ② ;  ③;   ④.

解 ①经过点，它的一个方向向量是；

②化简得到：，从中可见该直线经过点，一个方向向量是；

③经过点，它的一个方向向量是；

④经过点，它的一个方向向量是．

[说明]通过直线的点方向式方程，可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量.

例2 已知点和，求经过点且与平行的直线的点方向式方程？                                       

解： ，

所以过点且与平行的直线的点方向式方程是．

变式1 求经过点、C两点的直线的点方向式方程.

解：  ，．

思考：有没有别的表达方式？

     是否一样呢 ？  不妨化简，得到的都是：

变式2  在中，求平行于边的中位线所在直线的点方向方程.

解  的中点为，的中点为，则，

所以所在直线的点方向方程是．

[说明]这些题目的解法关键在于找点和方向向量！

三、巩固练习

练习11.1（1）

四、课堂小结

1.直线方程的定义

2.直线的点方向式方程的推导.

3、用向量方法推导直线方程的主要思想

4、确定直线方程的几个要素

五、课后作业

习题11.1 A组1，2，3，4 ；B组1，2

六、教学设计说明

直线这一章节的核心思想是：通过坐标把几何问题表示成代数问题，然后通过方程来研究直线！直线是解析几何中最基本而内涵丰富，应用广泛的内容之一，同时也是应用解析法解决平面几何问题的基础，涉及角，距离的计算和平行垂直的判断，不但是重要的知识点，更是进一步学习圆锥曲线的基本工具.

在新教材中，用向量方法推导直线方程体现了从几何角度分析，确定直线需要两个独立的条件（位置和方向），利用给定的条件，通过向量平行的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程.我们用向量工具推导直线方程，不仅形式十分简洁明了，而且能充分认识字母系数的含义，这对以后学习直线的一般式以及位置关系有十分重要的意义！

对于学生而言，初中时已学过一次函数、正比例函数，这两种函数的图像都是直线．而这节课进一步讲明白直线与方程之间需满足怎样的关系才能够称为直线方程！所以这节课的重点为：直线方程的意义、直线的点方向式方程.难点为：直线方程的定义.

    对于点方向式的推导，我采取引导学生推导的策略，在讲解点方向式方程时，就完全由学生类比向量平行的充要条件，让学生自己探究，自己感悟，感受成功的喜悦！在讲直线与方程关系的时候，先举一个简单的例子，并借助于图像来说明直线与方程的关系，从而由特殊到一般，理解直线方程的定义！

本节课通过建立直线的方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义.初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生会用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）进行研究的能力.创造适合学生的教学，坚持 “教”为“学”服务！