2021学年11.1直线的方程巩固练习

11．1 （２）直线方程

　一、教学内容分析

本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于的一次方程（不全为零）的形式.

本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.

二、教学目标设计

在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.

三、教学重点及难点

直线的点法向式方程以及一般式方程；

四、教学流程设计

五、教学过程设计          

一、复习上一堂课的教学内容

二、讲授新课

（一）点法向式方程

1、概念引入

从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点，且与某一方向平行的直线是惟一确定的．同样在平面上过一已知点，且与某一方向垂直的直线也是惟一确定的．

2、概念形成

       直线的点法向式方程

在平面上过一已知点，且与某一方向垂直的直线是惟一确定的.建立直角坐标平面，设的坐标是，方向用非零向量表示.

       直线的点法向式方程的推导

设直线上任意一点的坐标为，由直线垂直于非零向量，故.根据的充要条件知，即：①；反之，若为方程⑤的任意一解，即，记为坐标的点为，可知，即在直线上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线的方程，直线是方程①的直线.

我们把方程叫做直线的点法向式方程，非零向量叫做直线的法向量.

3、概念深化

从上面的推导看，法向量是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.

若直线的一个方向向量是，则它的一个法向量是.

4、例题解析

例1 已知点，求的垂直平分线的点法向式方程.

解  由中点公式，可以得到的中点坐标为，是直线的法向量，

所以，的垂直平分线的点法向式方程.

[说明]关键在于找点和法向量！

例2已知点和点是三角形的三个顶点，求

（1）边所在直线方程；

（2）边上的高所在直线方程.

解（1）因为边所在直线的一个方向向量＝（7，5），且该直线经过点，所以边所在直线的点方向式方程为

（2）因为边上的高所在的直线的一个法向量为＝（7，5），且该直线经过点，所以高所在直线的点法向式方程为

５、巩固练习

练习11.1（2）

（二）一般式方程

1、概念引入

由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；那么每一个关于的二元一次方程（，不同时为0）是否都表示一条直线呢？

2、概念形成

       直线的一般式方程的定义

直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为的二元一次方程.

反之，任意二元一次方程都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当时，方程可化为，根据直线点法向式方程可知，这是过点，以为一个法向量的直线；当时，方程为，由于，方程化为，表示过点且垂直于轴的直线.

所以二元一次方程是直线的方程，叫做直线的一般式方程.

３、例题解析

例1 中，已知、，求边的中垂线的一般式方程.

解  直线过中点，，则其点法向式方程为，整理为一般式方程.

[说明]点法向式方程化为一般式方程.

例2（1）求过点且平行于直线的直线方程；

（2）求过点且垂直于直线的直线方程.

解 （1）解一：，又直线过点，故直线的方程为化简得.

解二：又直线过点，故直线的点法向式方程为化简得.

解三：设与平行的直线方程为，又直线过点故，，所以直线的方程是.

（2）解一：的法向量为所求直线的方向向量，又直线过点，故直线的方程为化简得.

解二：设与垂直的直线方程为，又直线过点故，，所以直线的方程是.

[说明]一般地，与直线平行的直线可设为；而与直线垂直的直线可设为.

例3能否把直线方程化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量和法向量有什么联系？

解：   、、、……

、4（x+4）+6(y-1)=0……

 能够化成点方向式的形式，并且有无数个！

  所有的方向向量之间存在：一个非零实数，使得；

易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！

所有的法向量之间存在：一个非零实数，使得

  变式：直线的方向向量可以表示为

直线的法向量可以表示为

 [说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.

三、巩固练习

练习11.1（3）

补充练习

1、（1）若直线过两点，则分别叫做该直线在轴上的截距.当时，求直线的方程；

（2）若过点的直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程.

2、 已知直线过点且与轴分别交于两点.

（1）若为中点，求直线的方程；（2）若分所成的比为，求的方程.

3、已知直线的方程为：

（1）求证:不论取何值，直线恒过定点；

（2）记（1）中的定点为，若（为原点），求实数的值.

4、中，三个顶点坐标依次为、、，求（1）直线与直线的方程；（2）点坐标.

5、．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线的方程.

6、已知两直线和都通过,求证：经过两点，的直线方程是.

四、课堂小结

１.直线的点法向式方程和一般方程的推导；

２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系.

３、确定直线方程的几个要素

五、课后作业

习题11.1 A组5,6,7；B组3，4

习题11.1 A组8

补充作业：

1. 直线的单位法向量是___________.
2. 直线的一般式方程为，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________.
3. 过且垂直轴的直线方程是_______________.
4. 若直线的法向量恰为直线的方向向量，求实数的值.
5. 已知点及直线，求：

（1）过点且与平行的直线方程；（2）过点且与垂直的直线方程.

6. 正方形的顶点的坐标为，它的中心的坐标为，求正方形两条对角线所在的直线方程.
7. 已知的坐标分别为，其中均为正整数，问过这三点的直线是否存在？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.
8. 设直线的方程为

（1）       证明：直线过定点；

（2）       若在两坐标轴上的截距相等，求的方程.

六、教学设计说明

在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.

通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.