高中3.1 椭圆同步练习题

这是一份高中3.1 椭圆同步练习题，共4页。试卷主要包含了已知点A)和圆O1等内容，欢迎下载使用。
1．已知定点F1、F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是( )．
A．椭圆 B．圆
C．直线 D．线段
答案 D
2．如果方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围
是( )．
A．a>3 B．a3或a3或－63或a3或－60)上一点P(3，4)，若PF1⊥PF2，求椭圆的方程．
解 椭圆经过点P(3，4)，则eq \f(9,a2)＋eq \f(16,b2)＝1(a>b>0)．①
又a2＝b2＋c2.②
设F1(－c，0)，F2(c，0)，则eq \(PF,\s\up6(→))1＝(－c－3，－4)，eq \(PF,\s\up6(→))2＝(c－3，－4)．由eq \(PF,\s\up6(→))1⊥eq \(PF,\s\up6(→))2，则eq \(PF,\s\up6(→))1·eq \(PF,\s\up6(→))2＝0，可得c2＝25③
由①②③可得a2＝45，b2＝20，
故所求椭圆方程为eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1.
12．(创新拓展)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，求△PF1F2的面积；
(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．
解 (1)由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝20，①
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs∠F1PF2，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②
①2－②，并整理，得|PF1||PF2|＝eq \f(256,3).
∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sineq \f(π,3)＝eq \f(64,3)eq \r(3).
(2)由eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1可知，a＝10，c＝6.
∴|PF1|＋|PF2|＝20，
∴|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq \s\up12(2)＝100.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立．
∴|PF1|·|PF2|的最大值是100.