湘教版（2019）选择性必修 第一册3.3 抛物线复习练习题

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一、选择题

1．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2，3)，则它的方程
是( )．
A．x2＝－eq \f(9,2)y或y2＝eq \f(4,3)x B．y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y
C．x2＝eq \f(4,3)y D．y2＝－eq \f(9,2)x
答案 B
2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )．
A．4p B．5p
C．6p D．8p
解析 设焦点为F，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝4p，故选A.
答案 A
3．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长为8，AB的中点到y轴的距离为2，则此抛物线的方程为( )．
A．y2＝12x B．y2＝8x
C．y2＝6x D．y2＝4x
答案 B
4．设点A是抛物线y2＝4x上一点，点B(1，0)，点M是线段AB的中点，若|AB|＝3，则M到直线x＝－1的距离为____．
答案 eq \f(5,2)
5．若动圆P与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线l：x＋1＝0相切，则动圆的圆心P的轨迹方程为________．
解析 设动圆P的半径为R，则有|PC|＝R＋1，P到直线l的距离d＝R，所以P到直线l′：x＝－2的距离为R＋1，即P点到定点(2，0)的距离与P点到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义知P点轨迹方程为y2＝8x.
答案 y2＝8x
6．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直线方程．
解 焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则|AB|＝2p消去y，得k2x2－(pk2＋2p)x＋eq \f(p2k2,4)＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(pk2＋2p,k2).
∴|AB|＝x1＋x2＋eq \f(p,2)＋eq \f(p,2)＝eq \f(pk2＋2p,k2)＋p＝eq \f(5,2)p，∴k＝±2.
∴AB所在直线的方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))或y＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2))).
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 （限时25分钟）)
7．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )．
A．2或－1 B．－1
C．2 D．3
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－2,y2＝8x))得：k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，由Δ＞0且x1＋x2＝eq \f(4k＋8,k2)＝4得k＝2.
答案 C
8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点P到y轴的距离为( )．
A.eq \f(3,4) B．1
C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4)
解析 y2＝x的准线方程为x＝－eq \f(1,4)，过A、B、P分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1、P1.由抛物线定义知|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|PP1|＝3，∴|PP1|＝eq \f(3,2)，∴P到y轴的距离为eq \f(3,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).
答案 C
9．过点M(2，4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有________条．
解析 容易发现点M(2，4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，l与抛物线有一个公共点，或者l在M点上与抛物线相切．
答案 2
10．抛物线y＝x2上的点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是____________．
解析 设点A(x，y)是符合题设条件的点，则由点到直线的距离公式，得d＝eq \f(\r(5),5)|2x－y－4|＝eq \f(\r(5),5)|2x－x2－4|
＝eq \f(\r(5),5)|－(x－1)2－3|≥eq \f(3\r(5),5).
当且仅当x＝1时，d取得最小值，故所求点为(1，1)．
答案 (1，1)
11．顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为eq \r(15)，求这抛物线方程．
解 设抛物线方程为：x2＝ay(a≠0)，
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝ay，,x－2y－1＝0.))
消去y得：2x2－ax＋a＝0，因直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0，或a>8.
设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝eq \f(a,2)，x1x2＝eq \f(a,2)，y1－y2＝eq \f(1,2)(x1－x2)，
弦长为|AB|＝ eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)
＝ eq \r(\f(5,4)（x1－x2）2)＝ eq \r(\f(5,4)[（x1＋x2）2－4x1x2])
＝eq \f(1,4)eq \r(5（a2－8a）).
∵|AB|＝eq \r(15)，∴eq \f(1,4)eq \r(5（a2－8a）)＝eq \r(15)，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12.∴所求抛物线方程为：x2＝－4y或x2＝12y.
12．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长．
解 如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2.
又∵|OA|＝|OB|，
∴xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)，
即xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＋2px1－2px2＝0.
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∴x1>0，x2>0，2p>0，∴x1＋x2＋2p≠0.
即A、B两点关于x轴对称，则∠AOx＝30°.
∴AB⊥x轴，∴y1＝x1tan 30°＝eq \f(\r(3),3)x1.
又∵x1＝eq \f(yeq \\al(2,1),2p)，∴y1＝2eq \r(3)p.
而|AB|＝2y1＝4eq \r(3)p即为所求边长．