高中数学湘教版必修24.6向量的应用同步练习题

4．6　向量的应用

双基达标  (限时20分钟)

1．若＝2e1，＝4e1，且与的模相等，则四边形ABCD是        (　　)．

A．平行四边形       B．梯形

C．等腰梯形        D．菱形

解析　＝，∴AB＝CD，AB∥CD，又||＝||，

∴四边形ABCD为等腰梯形．

答案　C

2．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是                                                                                                     (　　)．

A．点P在△ABC内部     B．点P在△ABC外部

C．点P在直线AB上      D．点P在AC边上

解析　＝－－＝＋＋＝2，故、共线，故P、A、

C三点共线，故P在AC上．

答案　D

3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|＝|G|，则θ＝                                                                                                                                                      (　　)．

A．30°    B．60°   C．90°    D．120°

解析　如图，作||＝|F|，||＝|F|，

以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则OACB为菱形，因为|F|＝|G|，

所以由向量加法的平行四边形法则可知，

∠AOC＝∠BOC＝60°，

从而θ＝∠AOB＝120°.

故选D.

答案　D

4．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km/h.

解析　|v水|＝|v船|＝5.

答案　5

5．过点A(2，3)且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程是________．

解析　设直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．

由·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，

得2x＋y－7＝0.

答案　2x＋y－7＝0

6．在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，M为AD与BE的交点，求证：点M分别将线段AD、BE分成2∶1的两部分．

证明　如图，设＝x，＝y，

∵D为BC的中点．

∴＝(＋)，∴＝＋.　

又E为AC的中点，∴＝＋＝－＋.

∴＝＋＝＋y＝＋y(－＋)

＝(1－y)＋.

∵、不共线，由平面向量基本定理知，

⇒x＝y＝.

∴＝，＝，即＝2，＝2.

故点M分别将线段AD、BE分成2∶1的两部分．

综合提高　限时25分钟

7．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为                                                                                                                                        (　　)．

A．(－2，4)         B．(－30，25)

C．(10，－5)         D．(5，－10)

解析　设(－10，10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，

y－10)，由题意有＝5v.

即(x＋10，y－10)＝(20，－15)⇒⇒

答案　C

8．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是          (　　)．

A．||2＝·

B．||2＝·

C．||2＝·

D．||2＝

解析　·＝||·||·cos A＝||2，所以A选项正确；

同理B选项也正确；

由于S＝||·||＝||·||，所以||2＝＝

，故D选项正确，只有C错误．

答案　C

9．已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于________．

解析　如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝

60°，CE＝，

∴＝3，∴＝－3.

答案　－3

10．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是________．

解析　∵(＋－2)·(－)

＝[(－)＋(－)]·(－)

＝(＋)·(－)＝ 2－ 2

＝||2－||2＝0，

∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形．

答案　等腰三角形

11．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．

(1)求直线DE、EF、FD的方程；

(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．

解　(1)由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．

设点M(x，y)是直线DE上任意一点，

则∥，＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，

∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，

即x－y＋2＝0为直线DE的方程．

同理可求，直线EF，FD的方程分别为

x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.

(2)设点N(x，y)是CH所在的直线上任意一点，

则⊥，∴·＝0.

又＝(x＋6，y－2)，＝(4，4)，

∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，

即x＋y＋4＝0为所求直线CH所在的直线方程．

12．(创新拓展)求cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos 的值．

解　如图，在直角坐标系中，作边长为1的正七边

形，则七条边所对应的七个向量为，，，，

，，，显然，它们的和为0.

＝(cos 0，sin 0)＝(1，0)，

＝(cos ，sin )，

＝(cos ，sin )，＝(cos ，sin )，

＝(cos ，sin )，＝(cos ，sin )

＝(cos ，sin )．

∴1＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝0，

故cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝－1.