数学必修24.4向量的分解与坐标表示学案设计

4.4　向量的分解与坐标表示

1．定理3

(1)将平面上的位移向量分解为两个单位向量e1，e2的实数倍向量之和xe1＋ye2，并且将系数排列起来，记为(x，y)，称为这个位移向量的坐标．为叙述方便，我们将一组向量的实数倍向量之和称为这些向量的线性组合．比如，xe1＋ye2就是e1，e2的线性组合．

(2)定理3：设e1，e2是平面上两个互相垂直的单位向量，则

①平面上任意一个向量v都可以分解为e1，e2的线性组合：v＝xe1＋ye2，其中x，y是两个实数．

②两个向量u＝ae1＋be2和v＝xe1＋ye2相等的充分必要条件是：a＝x且b＝y.

预习交流1

若用互相垂直的单位向量e1，e2来线性表示0，结果怎样？表示方法唯一吗？

提示：由于0e1＝0,0e2＝0，所以0e1＋0e2＝0.

由定理3知用e1，e2来线性表示任意一个向量时，表示方法是唯一的，所以若0＝xe1＋ye2，则必有x＝0，y＝0.

2．向量的坐标及其坐标运算

(1)定理3可以理解为：任意取定两个互相垂直的单位向量e1，e2作为“尺”，可以“度量”平面上任何一个向量v，得出两个“量数”x，y，我们将e1，e2称为一组基，用这组基去“度量”每一个向量v，也就是将v写成这组基的线性组合v＝xe1＋ye2，得到的两个“量数”x，y组成一组(x，y)，称为v的坐标，坐标(x，y)由两个数x，y组成，x称为它的第一分量(也称第一坐标)，y称为它的第二分量(也称第二坐标)．

(2)两个坐标相加减，将它们的两个分量分别相加减：

(x1，y1)±(x2，y2)＝(x1±x2，y1±y2)．

一个数与坐标相乘，将这个数分别乘上坐标的每个分量：

a(x，y)＝(ax，ay)．

(3)向量平行的坐标表示：

我们用∥来表示两个向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)平行(也就是共线)．现在也可以直接写成(x1，y1)∥(x2，y2)来表示这两个向量平行．即其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，也就是说它们的坐标成比例，即x1y2＝y1x2成立．总结为

(x1，y1)∥(x2，y2)⇔x1y2－y1x2＝0.

预习交流2

向量的坐标与点的坐标的写法有什么区别？

提示：在书写向量的坐标时，注意与点的坐标的区别与联系．向量a＝(x，y)中间用等号连接，而一个点的坐标A(x，y)，中间没有等号．

预习交流3

对于任意两个向量，它们共线的条件能否写为(x1，y1)∥(x2，y2)⇔＝？

提示：不能，只有当x2≠0，y2≠0时，两个向量共线的条件才可以改写为上述形式，因此，对任意两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b的充分必要条件是x1y2－x2y1＝0.

3．平面向量基本定理

定理4(平面向量基本定理)：设e1，e2是平面上两个不平行的非零向量，则

(1)平面上任意一个向量v可以分解为e1，e2的线性组合：v＝xe1＋ye2.

(2)向量u＝ae1＋be2与v＝xe1＋ye2相等⇔线性组合式中的对应系数相等：a＝x且b＝y.

预习交流4

任意两个向量都能做基吗？

提示：当两个向量共线时，它们只能表示与它们共线的向量，所以不能作为基，即只有不共线的两个向量才能做基．当然，这两个不共线的向量可以垂直，也可以不垂直．

一、向量的坐标及坐标运算

已知点A，B，C的坐标分别为A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．

(1)求向量＋2－的坐标；

(2)若＝，＝－，求D，E两点坐标．

思路分析：对于(1)，可先由A，B，C的坐标求出，，的坐标，再利用向量的加、减及数乘的坐标运算法则即可得解；对于(2)，应先求出，的坐标，再求D，E点的坐标．

解：(1)∵点A，B，C的坐标分别为A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，

∴＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)．

∴＋2－＝(－2,10)＋2(－8,4)－(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－13,11)．

(2)由(1)可知＝(－2,10)＝(－1,5)，

＝－(－8,4)＝.

设D(x1，y1)，E(x2，y2)，

则＝(x1－2，y1＋4)，＝(x2，y2－6)，

于是(x1－2，y1＋4)＝(－1,5)，(x2，y2－6)＝.

因此

解得

故D(1,1)，E.

1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)

A．(－2，－1)      B．(－2,1)      C．(－1,0)      D．(－1,2)

答案：D

解析：∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a＝，－b＝.

∴a－b＝(－1,2)．

2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则点P的坐标为(　　)

A．(－8,1)      B．

C．      D．(8，－1)

答案：B

解析：＝(－8,1)，所以＝.

设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，

于是x－3＝－4，y＋2＝，解得x＝－1，y＝－，即P，选B．

1．向量的坐标运算主要是利用向量的加、减及数乘运算法则进行．解题的关键是由已知的有向线段两个端点的坐标，求出相应向量的坐标，这时，一定是由向量的终点坐标减去向量起点的坐标．

2．点的坐标与向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，向量的坐标才与点的坐标相等．相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却不一定相同．

二、向量共线条件的应用

(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，试推断是否存在实数k，使向量ka＋b与a－3b共线？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线？

思路分析：(1)分别写出向量ka＋b和a－3b的坐标，利用向量共线的坐标表示可得到一个关于k的方程，方程有实根时k存在，否则，k不存在．

(2)要使A，B，C三点共线，应使与共线，然后根据向量共线的条件求得k值．

解：(1)由已知ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．

若ka＋b与a－3b共线，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，即24k＝－8，∴k＝－.

故存在实数k＝－，使向量ka＋b与a－3b共线．

(2)解法一：若A，B，C三点共线，则，共线，

则存在实数λ，使得＝λ.

∵＝－＝(4－k，－7)，

＝－＝(10－k，k－12)，

∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)．

∴解得k＝－2，或k＝11.

解法二：若A，B，C三点共线，则，共线．

∵＝－＝(4－k，－7)，

＝－＝(10－k，k－12)，

∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，

∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2，或k＝11.

1．若三点A(1,1)，B(2，－4)，C(x，－9)共线，则x的值为(　　)

A．1      B．3      C．      D．51

答案：B

解析：依题意＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，

∵A，B，C三点共线，∴与共线．

于是1×(－10)＝－5(x－1)，解得x＝3.

2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝__________.

答案：－1

解析：∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，

∴a＋b＝(1，m－1)．

∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，

∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.

1．用坐标表示的两个向量共线的条件是两向量的横、纵坐标交叉相乘差为零，不能错记为和为零．

2．要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线．若共线，并且每组向量都有公共点，则A，B，C三点共线．

三、平面向量基本定理的应用

在ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，.

思路分析：一种方法是直接利用向量加法、减法的运算法则进行分解、转化；另一种方法是先用未知向量，表示a，b，然后通过解方程求得，.

解：如图，方法一(转化法)：

设AC，BD交于点O，则有

===a，

===b.

∴=+=－=a－b，

=+=a+b.

方法二(方程思想)：

设=x，=y，则有

+=，－=且==y，

即

∴x=a－b，y=a+b，

即=a－b，=a+b.

如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.

解：设=a，=b，因为M，N分别为CD，BC的中点，

所以=b，=a，

于是有解得

即=(2d－c)，=(2c－d)．

用基向量表示未知向量，一般有两种方法，一是充分利用向量线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解，二是采用方程思想，即直接用，表示a，b，然后把，看做未知量，利用方程思想求解，.

1．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于(　　)

A．(1,1)      B．(－1，－1)

C．(3,7)      D．(－3，－7)

答案：B

解析：＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．

2．已知向量a＝(2，－3)，b＝(3，λ)，若a∥b，则λ等于(　　)

A．      B．－2      C．－      D．－

答案：C

解析：∵a∥b，∴2λ＋9＝0，解得λ＝－.

3．设O点是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组中，可作为这个平行四边形所在平面的基底的是(　　)

①与　②与　③与　④与

A．①②      B．①③      C．①④      D．③④

答案：B

解析：依题意，与不共线，与不共线，可以作为一组基底．

4．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)

A．(5e1＋3e2)

B．(5e1－3e2)

C．(3e2－5e1)

D．(5e2－3e1)

答案：A

解析：依题意＝＝(＋)

＝(＋)＝(3e2＋5e1)．

5．已知A(－2，－3)，B(1,3)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线．

证明：由于＝(3,6)，＝(4,8)，

而3×8＝6×4，故∥，又与有公共点A，

所以A，B，C三点共线．