高中数学湘教版必修25.1两角和与差的三角函数学案及答案

第3课时        两角和与差的三角函数

1．两角和的余弦公式的推导方法：

2．基本公式

sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ

cos(α±β)＝                  ;

tan(α±β)＝                 

3．公式的变式

tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)

1－tanα tanβ＝

4．常见的角的变换：

2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋

α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β

＝(α－)－(－β)；

＝

例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.

解：原式=

=

=

=

=

=

变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于（       ）

A.              B.7             C.－           D.－7

 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于  （       ）

A.－    B.     C.－       D.

解：(1)A     (2)B

例2. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．

解：∵α－＋＋β＝α＋β＋

α∈()  β∈(0,)

∴α－∈(0,)  β＋∈(,π)

∴sin(α－)＝   cos()＝－

∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]

＝－cos[(α－)＋()]＝

变式训练2：设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，

求cos（+β）.

解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.

故由cos（－）=－，得sin（α－）=.

由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（－）－（－β）］==

∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－.

例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.

解  ∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=，

∴cosA=-=-=-，

cosB=-=-=-，

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

=×-×=    ①

又∵＜A＜, ＜B＜,

∴＜A+B＜2       ②

由①②知，A+B=

变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数.

解  在△ABC中，A+B+C=180°,

由4sin2-cos2B=,

得4·-2cos2B+1=,

所以4cos2B-4cosB+1=0.

于是cosB=,B=60°.

例4．化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.

解  方法一  （复角→单角，从“角”入手）

原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)

=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)

=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-

=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-

=sin2+cos2-=1-=.

方法二  （从“名”入手，异名化同名）

原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2

=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2

=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2

=cos2-cos2·

=-cos2·

=-cos2=.

方法三  （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

原式=·+·-cos2·cos2

=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.

方法四  （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2

=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2

=cos2(+)-·cos(2+2)

=cos2(+)- ·［2cos2(+)-1］=.

变式训练4：化简：（1）sin+cos;

(2）.

解  （1）原式=2

=2

=2cos=2cos(x-).

（2）原式===1.

1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．

2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式．