高中数学湘教版必修25.3简单的三角恒等变换导学案及答案

5.6简单三角恒等变换（2）

一、学习目标：

能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明．

二、自主学习：

【课前检测】

1．已知，（），则（ ）

         或

略解：由得或（舍），∴，

∴．

2．已知，是第三象限角，求的值为        ．

解：∵是第三象限角，∴（），

∵，∴是第四象限角，

∴，

∴原式．

3．                                  （ ）

4．已知，当时，式子可化简（）

5．     1     ．

【考点梳理】1. 三角函数求值问题一般有三种基本类型：

（1）给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；

（2）给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；

（3）给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．

2．三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．

3．三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整．

三、合作探究：

例1．已知，求的值．

解：由题意，，

∴原式．

例2．已知，求的值．

解：∵，，

∴，

得，若，则，

若，无意义．

说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如，

，等，解题过程中应充分利用这种变形．

例3．已知关于的方程的两根为，

求：（1）的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值．

解：（1）由根与系数的关系，得，

∴原式．

（2）由①平方得：， ，即，故．

（3）当，解得，

∴或，   ∵，∴或．

例4．证明：（1）；

（2）．

证：（1）左边

            右边，∴得证．

说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．

（2）左边

右边，∴得证．

四、课堂总结：

1.三角函数求值方法:

(1)寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；

(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；

(3)一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．

2．三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

2．三角恒等式的证明：

三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．

五、检测巩固：

 1．                                  （ ）

2．已知，当时，式子可化简（）

3．     1     ．

4．化简：

（1）；

（2）；

（3）．

解：（1）原式

            ．

（2）原式

         ．

（3）原式

∵，∴，∴，

∴原式．