湘教版必修11.1集合导学案及答案

这是一份湘教版必修11.1集合导学案及答案，共13页。学案主要包含了集合，元素与集合的关系，集合与集合的关系等内容，欢迎下载使用。
集合 （一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. 2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。                          根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现             第1课时    集合的概念 一、集合1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象        就成为一个集合，简称       ．集合中的每一个对象叫做这个集合的         2．集合中的元素属性具有： (1) 确定性；  (2)          ； (3)           ． 3．集合的表示法常用的有           、           和韦恩图法三种，有限集常用           ，无限集常用           ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．二、元素与集合的关系4．元素与集合是属于和           的从属关系，若a是集合A的元素，记作          ，若a不是集合B的元素，记作           ．但是要注意元素与集合是相对而言的．三、集合与集合的关系5．集合与集合的关系用符号           表示． 6．子集：若集合A中           都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作           7．相等：若集合A中           都是集合B的元素，同时集合B中           都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作           ． 8．真子集：如果           就说集合A是集合B的真子集，记作           ．9．若集合A含有n个元素，则A的子集有           个，真子集有           个，非空真子集有           个．10．空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的           ，是任何非空集合的           ，解题时不可忽视．   例1. 已知集合，试求集合的所有子集.解：由题意可知是的正约数，所以 可以是；相应的为，即. ∴的所有子集为.变式训练1.若a,bR,集合求b-a的值.解：由可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：   ①或      ②由①得符合题意；②无解.所以b-a=2.例2. 设集合，，，求实数a的值.解：此时只可能，易得或。当时，符合题意。当时，不符合题意，舍去。故。变式训练2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。解：（1）a＝0,S＝，P成立      a0，S，由SP，P＝{3，－1}得3a＋2＝0，a＝－或－a＋2＝0，a＝2；    ∴a值为0或－或2.（2）B＝，即m＋1>2m－1,m<2  ∴A成立.      B≠，由题意得得2≤m≤3∴m<2或2≤m≤3      即m≤3为取值范围.注：（1）特殊集合作用，常易漏掉例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.解： 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集. (1)∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.∴Δ=4-12m<0,即m>.（2）∵A中只有一个元素，∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=;若m≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=.∴m=0或m=. (3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m≥.变式训练3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.解：（1）由题意知：a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a=0即为所求.（2）由题意知,或或或根据元素的互异性得或即为所求.例4. 若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、 }，且A∩B＝{2，5}，试求实数的值．解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A且5∈A，则＝5(a－2)(a－1)(a＋1)＝0，∴a＝－1或a＝1或a＝2．当a＝－1时，B＝{1，0，5，2，4}，与A∩B＝{2，5}矛盾，∴a≠－1．当a＝1时，B＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，∴a≠1．当a＝2时，B＝{1，3，2，5，25}，满足A∩B＝{2，5}．故所求a的值为2．变式训练4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq， }，其中a≠0，若A＝B，求q的值解：∵A＝B∴(Ⅰ)或 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得q＝1，由(Ⅱ)得q＝1或q＝－．当q＝1时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾∴q＝－  1．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆． 2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验． 3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．第2课时    集合的运算 一、集合的运算1．交集：由           的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝            ．2．并集：由            的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝           ．3．补集：集合A是集合S的子集，由           的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，即＝           ．二、集合的常用运算性质1．A∩A＝          ，A∩＝          ，A∩B=          ，B∩A，A∪A＝          ，A∪＝           ，A∪B＝B∪A2．＝          ，＝          ，           ．3．          ，          ，4．A∪B＝A          A∩B＝A            例1. 设全集，方程有实数根，方程有实数根，求.解：当时，，即；当时，即，且 ∴，∴而对于，即，∴.∴变式训练1.已知集合A=B=  （1）当m=3时，求；（2）若AB，求实数m的值.解：  由得∴-1＜x≤5,∴A=.（1）当m=3时，B=，则=，∴=.(2)∵A=∴有42-2×4-m=0,解得m=8.此时B=,符合题意，故实数m的值为8.例2. 已知,或.(1)若,求的取值范围;(2) 若,求的取值范围.解:(1),  ∴，解之得.(2) ,  ∴.  ∴或，  或∴若,则的取值范围是；若,则的取值范围是.变式训练2：设集合A=B（1）若AB求实数a的值；（2）若AB=A，求实数a的取值范围；（3）若U=R，A（）=A.求实数a的取值范围.解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=   （1）∵AB∴2B，代入B中的方程，得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;当a=-1时，B=满足条件；当a=-3时，B=满足条件；综上，a的值为-1或-3.    （2）对于集合B，=4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3).∵AB=A，∴BA,①当＜0,即a＜-3时，B=，满足条件；②当=0，即a=-3时，B，满足条件；③当＞0，即a＞-3时，B=A=才能满足条件， 则由根与系数的关系得即矛盾；综上，a的取值范围是a≤-3.（3）∵A（）=A，∴A，∴A   ①若B=，则＜0适合；②若B≠，则a=-3时，B=，AB=，不合题意；a＞-3，此时需1B且2B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；将1代入B的方程得a2+2a-2=0∴a≠-1且a≠-3且a≠-1  综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+.  例3. 已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB  若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解:方法一  假设存在实数a满足条件AB=则有（1）当A≠时，由AB=，B，知集合A中的元素为非正数，设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得（2）当A=时，则有=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.方法二  假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x2至少有一个为正，因为x1·x2=1＞0，所以两根x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得解得又∵集合的补集为∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.变式训练3.设集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.解：假设A∩B≠，则方程组有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得-.因a为非零整数，∴a=±1，当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1,而x∈N*.故a≠-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠,此时A∩B={（1，1），（2，3）}.例4. 已知A＝{x｜x2－2ax＋(4a－3)＝0，x∈R}，又B＝{x｜x2－2ax＋a2＋a＋2＝0，x∈R}，是否存在实数a，使得AB＝?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．解：1<a<2即实数(1，2)时，＝．变式训练4.设集合为函数的定义域,集合为函数的值域,集合为不等式的解集.（1）求；（2）若,求的取值范围．解：（1）解得A=（-4，2）， B= 。  所以（2）a的范围为<0    1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言．2．集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想．3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.集合测试题一、选择题 1．设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为（    ）A．{2}        B．{3}       C．{－3，2}         D．{－2，3}2．当xR，下列四个集合中是空集的是（    ）A. {x|x2-3x+2=0}              B. {x|x2＜x}C. {x|x2-2x+3=0}              C. {x|sinx+cosx=}3．设集合，集合，若, 则等于（    ）A.                           B.    C.                           D.4．设集合，，则下列关系中正确的是（  ）A．       B．         C．            D．5．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P={x|xM且xp},则M-（M-P）等于（    ）A. P      B. MP     C. MP      D. M 6．已知, 若, 则实数的取值范围是(   )A.          B.           C.           D. 7.集合M＝{x｜x＝sin，n∈Z}，N＝{ x｜x＝cos，n∈Z }，M∩N＝ （  ）A．         B．  C．{0}               D．8.已知集合M＝{x｜}，N＝{x│}，则  （  ）A．M＝N   B．M   N C．M   N   D．MN＝φ9． 设全集∪＝{x｜1≤x <9，x∈N}，则满足的所有集合B的个数有 （  ）A．1个            B．4个       C．5个            D．8个10．已知集合M＝{(x，y)︱y＝}，N＝{(x，y)︱y＝x＋b}，且M∩N＝，则实数b应满足的条件是（  ）A．︱b︱≥              B．0＜b＜C．－3≤b≤             D．b＞或b＜－3二、填空题 11．设集合,,且，则实数的取值范围是                   .12．设全集U=R，A=，则右图中阴影部分表示的集合为                 .13．已知集合A=，那么A的真子集的个数是               .14．若集合，，则等于        .15．满足的集合A的个数是_______个.16．已知集合，函数的定义域为Q.（1）若，则实数a的值为          ；（2）若，则实数a的取值范围为            .三、解答题17．已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数的取值范围．      18．设，集合，；若，求的值.       19．设集合，.   (1)当时，求A的非空真子集的个数；(2)若B=，求m的取值范围；(3)若，求m的取值范围.      20. 对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即}，.(1)  求证：AB(2) 若，且，求实数a的取值范围.     参考答案 一、选择题 1．答案：A2．答案：C3．答案：A4．提示：，.答案： D5．答案：B6．答案：B7. 由与的终边位置知M＝{，0，}，N＝{－1，0，1}，故选C.  8.C9.D10.D11．提示:,  ∴,答案：12．答案：，图中阴影部分表示的集合为,13．答案：1514. 答案：15. 答案：716. 答案：；17. 解：（1）A＝…………B＝……………（2）由AB＝B得AB，因此……………所以,所以实数ａ的取值范围是……………18. 解：，由，当时，，符合；当时，，而，∴，即∴或.  19. 解：化简集合A=，集合B可写为(1),即A中含有8个元素，A的非空真子集数为（个）.(1)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=.(2)当B=即m=-2时，；当B即时（ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要只要，所以m的值不存在；（ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要只要.综合，知m的取值范围是：m=-2或 20.证明(1).若A＝，则AB 显然成立；若A≠，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t，即t∈B，从而 AB.解 (2)：A中元素是方程f(x)＝x 即的实根.      由 A≠，知 a＝0 或      即  B中元素是方程 即  的实根由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为因此，要A＝B，即要方程             ①要么没有实根，要么实根是方程 ②的根.若①没有实根，则，由此解得  若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 ，代入①有 2ax＋1＝0.由此解得，再代入②得 由此解得  .故 a的取值范围是