高中数学湘教版必修11.1集合导学案

集合的运算

一.课标解读

1.《普通高中数学课程》中明确指出:“理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.”

2.重点:交集与并集.全集与补集的概念.

3.难点:理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系.

二.要点扫描

1. 交集

⑴交集定义：由属于又属于的所有元素构成的集合叫与的交集，记作，表示为且

图中阴影部分表示集合与的交集：

注意：此定义包含了两层含义：一层含义为凡是中的元素都是两集合与的公共元素；另一层含义是集合与中的所有公共元素都在中。另外，当两集合与没有公共元素时，不能说集合与没有交集，而是。

⑵交集的运算性质：对于任何两个集合与，都有

2. 并集

并集定义：把给定的两个集合与的所有元素并在一起构成的集合叫与的并集，记作，表示为或， 图中阴影部分表示集合与的并集：

注意：两集合的并集，公共元素只能出现一次。或包含了三种情况:但;但;且.

⑵并集的运算性质：对于任何两个集合与，都有

3. 补集

⑴补集的定义

如果，由全集中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记作,表示为且

图中阴影部分表示集合在全集中的补集：

⑵补集的运算性质：对于任何集合，都有

三.知识精讲

知识点1交集、并集、补集的重要结论

知识点2表示交集、并集、补集关系的常见的几种韦恩图

四.典题解悟

---------------------------------------------------基础在线---------------------------------------------------

[题型一] 交集

由属于又属于的所有元素构成的集合叫与的交集.

例1. A={}，，求实数p的取值范围。

解析：因为，

若，则方程无实数解，

所以， -4<p<0;

若，则方程有非正实数根，

因为，所以方程有两个负根，

所以解得，

综上可知，实数p的取值范围是p>-4.

答案: p>-4.

[题型二]并集

把给定的两个集合与的所有元素并在一起构成的集合叫与的并集.

例2. ，求。

解析：集合中的元素有两个性质，即确定性和互异性，本例应用并集的基本知识及集合中元素互异的特征性质排除了这个解。

或，

若，则；

若，则。

但时，这时集合的表示与集合元素具有互异性相矛盾，

所以或或。

答案: 或或。

例3.已知集合

（1）若AB，请求a的取值范围；

（2）若，请求a的取值范围；

（3）若，请求a的取值范围。

解析：化简集合A={x|2<x<4},而集合

（1）  因为AB，如下图

虽然要求，当，3a>4仍然成立，所以AB成立，同理3a=4也符合题意，

所以解得故的取值范围是。

（2）①当时，显然成立，即；

或②时，如下图

或位置均使成立。

当或时也符合题目意，事实上，，则成立。

所以，要求或，解得。

或③时，,显然成立。

所以可取，

综上所述，的取值范围是。

（3）因为

，如下图

集合若要符合题意，位置显然为，此时，，

所以，为所求。

答案: ⑴;

⑵;

⑶

[题型三]补集

如果，由全集中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集.

例4.已知全集U={2，3，a2+2a-3},A={2,|a+7|}, CUA={5},求a的值。

解析:由已知U={2，3，a2+2a-3}, CUA={5},得a2+2a-3=5，解得a=-4或a=2

若a=-4，|a+7|=3，满足条件；

若a=2，|a+7|=9，与题意不符，舍去。

所以a=-4。

答案:a=-4

例5.设全集U=R, 集合A=｛x| x2- x-6<0｝, B=｛x|| x|= y+2, y∈A｝, 求CUB, A∪(CUB), A∩(CUB),CU(A∪B), (CUA)∩(CUB).

解析:A={ x |-2<x <3}, ∴0<|x|=y+2<5. ∴B={ x|-5< x<0或0<x<5}

∴CUB={ x | x ≤-5或x =0或x ≥5} ,

A∪(CUB)={ x|x≤-5或-2<x<3或x≥5}, A∩(CUB)=｛0｝,

CU(A∪B)=( CUA)∩(CUB)= { x | x ≤-5或x ≥5}.

答案:略.

-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------

1.有限集合中元素的个数

在研究集合时，常遇到有关集合中元素的个数问题，我们便把有限集合中元素的个数记作，如，则=3.

下面看一个例题：

观察它们的元素个数间的关系，

发现:一般地，对于任意两个有限集合A，B，有；

这就是著名的容斥原理；

对于任意三个有限集合A，B，C，有

注意：

例6. 天鹅旅行社有15人组成了国际导游组，其中能用英语导游的有11人，能用日语导游的有8人，若每人至少会这两种外语之一，求既能用英语又能用日语的导游有多少位？

解析：设A={能使用英语的导游}，B={能使用日语的导游}，

{国际导游组成员}，{既能用英语又能用日语的导游}

由，则15=11+8,则=4。

答案：既能用英语又能用日语的导游有4位。

2.德摩根律

利用维恩图观察与的关系

通过观察发现：与是相同的，即=

同样的道理可以发现： =

这便是著名的德摩根律，它可以叙述为：

交集的补集等于的补集之并；并集的补集等于的补集之交。

例7. 已知集合A={(x，y)|ax+y=1}，B={(x，y)|x+ay=1}，C={(x，y)|x2+y2=1}，

问：(1)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有两个元素的集合？

(2)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有三个元素的集合？

解析：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

A∩C与B∩C分别为

的解集。解之得：

（Ⅰ）的解为（0，1），（）

（Ⅱ）的解为（1，0），（）

 (1)使(A∪B)∩C恰有两个元素的情况只有两种可能：

解得a=0或a=1。

（2）使(A∪B)∩C恰有三个元素的情况是：

解得。

答案: (1) a=0或a=1;

    （2）。

---------------------------------------------------错解点击---------------------------------------------------

例8. 15.集合A=｛x| x2-3x+2=0｝, B=｛x| x2-ax+a+1=0｝, C=｛x| x2- mx+2=0｝, 若A∪B=A, A∩C= C, 求a, m的值.

错解:此为易错题目.

正解: m=3或m∈(-2,2).

分析:当a-1=1, 即a =2时, B=｛1｝;

当a-1=2, 即a=3时, B=｛1,2｝.

∴a的值为2或3. 

再考虑条件:CA, 则集合C有三种情况:

①       当C=A时, m=3;

②       当C为单元素集合时, 即方程x2- mx+2=0有等根.

由△=m2-8=0, 得m=±2.

但当m=±2时, C=｛｝或｛-｝

不合条件CA. 故m=±2舍去.

③       当C=φ时, 方程x2- mx+2=0无实根,

△=m2-8<0, ∴-2<m<2. 综上m=3或m∈(-2,2).

五.课本习题解析

六.同步自测

---------------------------------------------------双基训练---------------------------------------------------

   1.设集合M=｛x|≤0｝,N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N=(     )

A、{x|0≤x<1}     B、{x|0≤x<2}     C、{x|0≤x≤1}    D、{x|0≤x≤2}

2. 设全集U=N,集合A=｛x|x=2n,n∈N｝,B={x|x=4n,n∈N}则（   ）

A、U=A∪B     B、U=CUA∪CUB    C、U=A∪CUB     D、U=CUA∪B

3. 设M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3},且M∩N={2,3}则a的值是(    )

A、1或2        B、2或4         C、2            D、1

4. 设集合，，则(     )

A、     B、M      C、Z   D、{0}

5. 设全集U（U）和集合M，N，P且M=CUN，N= CUP，则M与P的关系是-------（     ）

A 、M= CUP        B、 M=P    C、 MP        D 、MP

6. 已知A={(x, y)|x+y=3}, B={(x,y)|x－y=1}，则A∩B=（    ）

A．{2, 1} B．{x=2,y=1} C．{(2,1)} D．(2,1)

7. 若集合，则满足的集合B的个数是（    ）

A．1     B．2      C．7      D． 8

8.已知集合,，则（    ）

A.     B．        C．         D． 

9. 设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（    ）

A.．  B．

C．  D．

10. 已知集合U、P、Q满足U = P∪Q =｛0,1,2,3,4｝, P∩Q =｛1,3｝, 则()∩(P∪Q) = (     )

A｛0,1,3｝   B｛1,2,4｝   C｛0,2,4｝    D｛1,3,4｝

11．U=R,集合A={x|≤2},则CUA=______________;

12．设全集U={x|x≤10，x∈N}，集合P={能被2或3整除的自然数}，用列举法表示集合CUP为{                         }。

13．知集合，，

则=               ;

---------------------------------------------------综合提高---------------------------------------------------

    14.集合A={1,3,x},B={x2,1},且AB={1,3,x},满足这些条件的x的值有(   ).

A.一个      B.两个      C.三个       D.四个

15.设全集为，非空集满足，则下列集合中一定是空集的是 （    ）

(A)    （B）      (C)       (D)

16.设集合，要使，则应满足的条件是（    ）

(A)         （B）        (C)           (D)

17. 已知集合，则（    ）

(A)        （B）   (C)      (D)

18.已知全集U={(x,y)|x,y},

集合A={(x,y)|},

集合B={(x,y)|y-3=x-2},那么(CUA)=(    )

A.   B.{2,3}    C.{(2,3)}    D.{(x,y)|y-3x-2}

19.已知集合A={x|},B={x|x≤a}，若A∩B=B,则a的取值范围是（     ）

(A)a≥1   (B)a≥2   (C)a≤-2  (D) a<-2

20. 已知， 且， ，，则=             ,         

21.已知全集，

则                     ，                     .

22．已知全集U={2，4，1-a}，A={-1}，CUA={2，a2-a+2},则实数a=   

23．  ，．若 ，求实数 的值．

24．50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．问这种测验都优秀的有几人？

25．某班共有人参加数学、物理、化学兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有人，参加化学兴趣小组的有人，参加物理兴趣小组的有人，同时参加数学、物理兴趣小组的有人，参加数学、化学兴趣小组的有人，三个兴趣小组都参加的有人。问同时参加化学、物理兴趣小组的有几人？

七.相关链接

公理化集合论的建立

　　集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.

　　它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.
　　超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.
　　这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.
　　康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.
    注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.

高考解密

考点导航

05考纲

考题展示

考点①了解映射的概念,理解函数的概念

1.(2004年,湖北)

解

答案

2.(2004年,湖北)

解法一

解法二

答案

考点②

参考答案

集合的运算

1.B  2.C  3.C  4.C  5.B  6.C  7.D  8.B  9.C  10.C

11.

12.{0,2,3,4,6,8,9}

13. {(1,1)}

14.C  15.D  16.B  17.C  18.C  19.D

20. 画维恩图:

得答案{1,3,5}  {2,7} 

21. 依据题中已知的集合关系,在数轴上画出符合题意的图,以得到各点间的关系式.

{}  {}

22.2

23. 凡题中有条件时,B为空集均合题意,这种情况必须单独讨论,千万不可遗忘.的值为0， ，－1．注意空集是任何集合的子集．

24. 由容斥原理，答案为25人

25. 设A={参加数学兴趣小组的人},B={参加化学兴趣小组的人},C={参加物理兴趣小组的人},

由容斥原理得，

=

即： =21+10+17-12-6+2-27=5

答：同时参加化学、物理兴趣小组的有5人。