2021北京市东城区初三数学期末考试练习题

这是一份2021北京市东城区初三数学期末考试练习题，共19页。试卷主要包含了 写出一个二次函数，使其满足等内容，欢迎下载使用。
东城区2020-2021学年度第一学期期末教学统一检测
初三数学 2021.1
一、 选择题（本题共24分，每小题3分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A.直角三角形 B.圆 C.等边三角形 D. 四边形
2. 在平面直角坐标系xOy中, 下列函数的图象上存在点P(m,n)（m＞0,n＞0）的是
A． B． C． D．
3. 若关于x的方程的一个根是-1，则a的值是
A．1 B．-1 C． D．-3
4. 若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是
A.正比例函数关系 B.反比例函数关系 C.一次函数关系 D.二次函数关系
5. 在平面直角坐标系xOy中, △ABC与△A’B’C’关于原点O中成心对称的是


6. 不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同 , 其中印有冰墩墩的卡片共有n张. 从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是
A．250 B．10 C． 5 D．1

7. 如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径,两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山. 为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离.小明应该测量的是
A．线段BP B．线段CP C． 线段AB D． 线段AD


8. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是
A. R=r B. R= 2r C. R= 3r D. R= 4r

二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当时，y随着x的增大而增小.这个二次函数的解析式可以是：_ .
10.如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D. 若OA=4，则的长为 .







11. A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其它差别. 分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是________.

12. 2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率.设年平均增长率为x,则所列的方程应为 (不增加其它未知数) .

13. 在平面直角坐标系xOy中, 将抛物线沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的函数解析式为 .

14. 如图，△是等边三角形．若将绕点A逆时针旋转角后得到，连接和，则的度数为 ．









15. 已知抛物线与直线y=m相交于A，B两点，若点A的横坐标，则点B的横坐标的值为________.
16. 如图1，在△ABC中，AB>AC， D是边BC上的动点. 设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y， 表示 y与x的函数关系的图象如图2所示. 线段AC的长为 ，线段AB的长为 .

三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17. 已知：如图，线段AB.
求作: 以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③以点B为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交，记其中一个交点为C；
④分别连接AC，BC；
△ABC就是所求作的直角三角形.

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：连接OC,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB= ° ( )(填推理的依据) .
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形.
∵OC=OB=BC,
∴△OBC是等边三角形.
∴∠COB=60°.
∴∠A= °.

18. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A(0，-1), 且过点B(1，4),
C(-2，1).
(1) 求二次函数的解析式；
（2）当-1≤x≤0时，求y的取值范围.

19. 如图，AM平分∠BAD，BF//AD 交AM于点F, 点C在BF的延长线上, CF=BF , DC的延长线交AM于点E..
(1) 求证：AB=BF；
(2) 若AB=1，AD=4, 求的值






20. 关于x的一元二次方程.
(1)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
(2)若方程有两个不相等的实数根，且m=-4.
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根.

21. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线过点A（1,1）,与直线交于B,C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）.
(1) 求k的值；
(2) 求点B,C的坐标；
（3）若直线x=t与双曲线交于点， 与直线交于点，当 时，写出的取值范围.

22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．
（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；
（2）若BD=5，AC=2DC，求⊙D的半径．





23. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
（1）若此抛物线经过点（-2,-2），求b的值；
（2）写出抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（m， m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．

24. 在△ABC中，AB＝， CD⊥AB于点D， CD＝.
（1）如图1，当点D是线段AB中点时，
①AC的长为 ；
②延长AC至点E,使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系为 ,
∠BCE与∠A的数量关系为 ；
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE.
①按要求补全图形；
②求AE的长.








25.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
给出如下定义：记线段AB的中点为M ，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'(A'，B'分别为点A，B的对应点).线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
(1) 已知点A的坐标为（-1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为________；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为________；
(2)若点A，B都在直线上，AB=2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
(3)若点A的坐标为（3，4），AB=2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．

























东城区2020-2021学年度第一学期期末教学统一检测
初三数学参考答案及评分标准 2021.1
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
答案
B
A
C
B
D
B
C
D
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 答案不唯一，如 10. 11.
12. 13. y=x2+2 ,或y=x2-2 14. 30°
15. 3 16. ，
三.解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题7分）

17.解：（1）补全的图形如图所示.













┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 2分
（2）90，直径所对的圆周角是直角，30.
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
18.解：（1）设二次函数的解析式为.
∵点A(0，-1)，B(1，4), C(-2，1)都在二次函数的图象上，
∴
解得
所以，二次函数的解析式为. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分

（2）函数图象的顶点坐标为.
当-1≤x≤0时， y的取值范围是 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
19.（1）证明：∵AE平分∠BAD,
∴∠1=∠2.
∵BF//AD,
∴∠3=∠2. ┈┈┈┈┈┈┈┈1分
∴∠1=∠3.
∴AB=BF. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
(2) 解：∵CF=B F, AB=1，
∴CF=1. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分
∵BF//AD,
∴△EFC∽△EAD. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
∴. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分

20.解：(1)∵方程有两个相等的实数根，
∴.
∴. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
(2) 当m=-4,方程为.
①∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ .
解得. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分
②答案不唯一，如时，方程的两根为. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分

(参考：)

21. 解：(1) ∵双曲线过点A（1,1），
∴. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
(2)由
得，
去分母，得.
解得 ，.
经检验，，是原方程的解.
∴，.
∵点B的横坐标小于点C的横坐标，
∴B，C.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分
（3）当时，. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分

22. 解：（1）补全图形如图，直线AB与⊙D相切．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
证明：作DEAB于点E．
∵∠DCA=90°，AD是∠BAC的平分线，
DE=DC．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
直线AB与⊙D相切．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分

（2）∵DE=DC，AC=2DC，
AC=2DE．
∵∠BCA=∠BED=90°，∠B=∠B，
∆BCA∽∆BED．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
．
AB=2DB．
∵BD=5，
AB=10．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
设DC=，则AC=2．
Rt∆ABC中，，
．
解得．
⊙D的半径为3．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分

23.解：（1）∵抛物线经过点（-2,-2），
∴
∴ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
（2）抛物线的对称轴为直线，纵坐标，顶点坐标.
┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
（3）由（1）知，当抛物线经过点（-2,-2）时，
当抛物线经过点（2,2）时，
①当时， 令，则；
令， 则.
∵时，y随着x的增大而增大，时，y随着x的增大而减小，
∴符合题意；
②当时， 令，则；
令， 则.
∵时，y随着x的增大而减小，时，y随着x的增大而增大，
∴符合题意；
③当时，令，则；
令， 则.
∵抛物线的开口向上，
∴不符合题意.
综上所述，b的取值范围是，或. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分


24.解： （1）①. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
②CE＝CB,∠BCE＝2∠A. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分
（2）解：按要求补全图形，如图. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
作∠ACM＝∠BCE，在射线CM上截取CF＝CA，连接BF， AF.
∴∠ACM＋∠FCE＝∠BCE ＋∠FCE，即∠ACE＝∠FCB.
∵CE＝CB,
∴△ACE≌△FCB(SAS) .
∴AE＝BF. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
过点C作CG⊥AF于点G，
∴∠CGF=90°.
∵ CF＝CA，
∴ ∠ACF＝2∠ACG， AF=2AG.
∵∠BCE＝2∠BAC，
∴∠ACG＝∠BAC.
∴CG∥AD.
∴∠AGC＝∠BAF＝∠ADC＝90°.
∴四边形ADCG是矩形. ┈┈┈┈┈┈┈┈6分
∴AG＝CD＝.
∴AF＝.
在Rt△BAF中，∠BAF＝90°，AB＝，AF＝，
∴BF＝.
∴AE＝. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分

25. 解：(1)①线段AB到⊙O的“平移距离”为. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
②B点的坐标为(-5，0)或(7，0). ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分
(2)如图，取AB的中点M，连接OM交⊙O于点M '，以M '为中点作线段A'B'，使得A'B'∥AB且A'B’=AB =2，则四边形AA'BB' 为平行四边形．
∴M 'M=AA'． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
由题意可知，AA'=d1．
设直线交x轴于点C，交y轴于点D，
∴点C(-3,0)，D(0，4)．
∴CD=5.
过点O作ON⊥直线CD于点N，交⊙O于点N'．
在Rt△COD中，可得ON=．
∴NN'=ON-ON'=．
∵MM'≥NN'，
∴MM'≥.
∴AA'≥．
∴d1的最小值是 (当点M与点N重合时取得).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分















(3)3≤d2≤5． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分