高中数学湘教版必修25.3简单的三角恒等变换教学设计及反思

这是一份高中数学湘教版必修25.3简单的三角恒等变换教学设计及反思，共4页。教案主要包含了复习引入，讲授新课，课堂练习，小结 熟悉了正，课后作业，板书设计，课后记等内容，欢迎下载使用。

1进一步熟悉正、余弦定理内容；
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：启发引导式
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：
一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲授新课：
1正余弦定理的边角互换功能
对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决
例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值
解：∵(这是角的关系)，
∴ (这是边的关系)于是，由合比定理得
例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列
求证：sinA＋sinC＝2sinB
证明：∵a、b、c成等差数列，
∴a＋c＝2b(这是边的关系)①
又②
③
将②、③代入①，得整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系)
2正、余弦定理的巧用
某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：
例3求sin220°＋cs280°＋sin20°cs80°的值
解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cs150°
∵20°＋10°＋150°＝180°，
∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角
设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcs150°＝c2（※）
而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：
sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cs150°＝sin2150°＝
∴原式＝
例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长 ()
分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中利用正弦二倍角展开后出现了csα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的
解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则
,①
又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）csα
将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0
解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)
所以此三角形三边长为4，5，6
评述： 此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程
例5已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长
分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用
解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得
①
②
③

由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④
将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0
再将③代入得a＋c＝13
由 ∴b1＝7，b2＝7
所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ
评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用
(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力
三、课堂练习：
1在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是( )
A等边三角形B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形
2在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccsBcsC，则此三角形为( )
A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形
3在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则secA= 
4△ABC中，，则三角形为 
5在△ABC中，角A、B均为锐角且csA＞sinB，则△ABC是
6已知△ABC中，，试判断△ABC的形状
7在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状
参考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形5钝角三角形
6等边三角形 7等腰三角形或直角三角形
四、小结 熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断
五、课后作业：
1在△ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列
证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）
cs2B－cs2C＝cs2A－cs2B2cs2B＝cs2A＋cs2C
∴2sin2B＝sin2A＋sin2C
由正弦定理可得2b2＝a2＋c2, 即a2，b2，c2成等差数列
2在△ABC中，A＝30°，csB＝2sinB－sinC
(1)求证：△ABC为等腰三角形；(提示B＝C＝75°)
(2)设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值
答案：（1）略 （2）1∶
六、板书设计（略）
七、课后记：