高中数学湘教版必修25.2二倍角的三角函数教案
展开第二十四教时
教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式
目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练；同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。
过程：
一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：
例一、 已知，，tan =，tan =，求2 +
（《教学与测试》P115 例三）
解： ∴
又∵tan2 < 0，tan < 0 ∴，
∴ ∴2 + =
例二、 已知sin cos = ，，求和tan的值
解：∵sin cos = ∴
化简得： ∴
∵ ∴ ∴ 即
二、 积化和差公式的推导
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos =[sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin =[sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos =[cos( + ) + cos( )] cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）
例三、 求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
= cos4sin2 +cos2sin2 +cos4cos2 +cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右边
∴原式得证
三、 和差化积公式的推导
若令 + = ， = φ，则， 代入得：
∴
这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。
例四、 已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值
解：∵cos cos = ，∴ ①
sin sin =，∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
四、 小结：和差化积，积化和差
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