高中数学湘教版必修24.6向量的应用教案设计

课    题：平面向量的数量积及运算律（2）

教学目的：

1掌握平面向量数量积运算规律；

2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题

教学重点：平面向量数量积及运算规律

教学难点：平面向量数量积的应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

内容分析：
    启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 

教学过程：

一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0

3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|

4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积

5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

1ea = ae =|a|cos；2ab  ab = 0

3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|

 特别的aa = |a|2或

4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|

7．判断下列各题正确与否：

1若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0                ( √ )

2若a  0，则对任一非零向量b，有ab  0            ( × )

3若a  0，ab = 0，则b = 0                         ( × )

4若ab = 0，则a 、b至少有一个为零                ( × )

5若a  0，ab = ac，则b = c                        ( × )

6若ab = ac，则b = c当且仅当a  0时成立          ( × )

7对任意向量a、b、c，有(ab)c  a(bc)              ( × )

8对任意向量a，有a2 = |a|2                          ( √ )

二、讲解新课：

平面向量数量积的运算律

1．交换律：a  b = b  a

证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos

 ∴a  b = b  a

2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)

证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，

若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，

(ab) =|a||b|cos，

a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos

3．分配律：(a + b)c = ac + bc

  在平面内取一点O，作= a, = b，= c，

  ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，

    即   |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2

 ∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2

 ∴c(a + b) = ca + cb     即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ

（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

三、讲解范例：

例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角

解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0    ①

    (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0    ②

两式相减：2ab = b2

代入①或②得：a2 = b2

设a、b的夹角为，则cos =   ∴ = 60

例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

解：如图：ABCD中，，，=

∴||2=

而=  

∴||2=

∴||2 + ||2 = 2=

例3 四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?

分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量

解：四边形ABCD是矩形，这是因为：

一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，

∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２

即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２

由于ａ·ｂ＝с·ｄ，

∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①

同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②

由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等

∴四边形ABCD是平行四边形

另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０

即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC

综上所述，四边形ABCD是矩形

评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；

(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系

四、课堂练习：

1下列叙述不正确的是（   ）

A向量的数量积满足交换律     B向量的数量积满足分配律

C向量的数量积满足结合律     Da·b是一个实数

2已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（    ）

A72           B-72           C36        D-36

3|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为（    ）

A平行         B垂直        C夹角为  D不平行也不垂直

4已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝         

5已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|=           

6设|a|=3,|b|=5,且a+λb与a－λb垂直，则λ＝          

参考答案：1C  2B  3B  4２ ５－１+2  5   6±

五、小结  通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题

六、课后作业

1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（    ）

A60°         B30°          C135°         D４５°

2已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（   ）

A2            B2          C6            D12

3已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（    ）

A充分但不必要条件               B必要但不充分条件

C充要条件                          D既不充分也不必要条件

4已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=           

5已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b=          

6已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)２＝______

7已知|a|=1,|b|=,(1)若a∥b,求a·b;(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角

8设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角

9对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角

参考答案：1D  2B  3C  4  5 –63   6 11

7 (1)-   (2)  (3)45° 8 120°  9 90°

七、板书设计（略）

八、课后记及备用资料：

1常用数量积运算公式

在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛

即(a＋b)２＝a２＋２a·b＋b２，（a－b）２＝a２－２a·b＋b２

上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a２－b２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用

2应用举例

［例1］已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a·b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜

解：∵｜a＋b｜２＝（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３

∴｜a＋b｜＝，∵（｜a－b｜）２＝（a－b）２＝a２－2a·b＋b２＝2２－2×（－3）×５２＝35，

∴｜a－b｜＝．

［例2］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°)

解：∵（｜a＋b｜）２＝（a＋b）２＝a２＋2a·b＋b２＝｜a｜２＋2｜a｜·｜b｜ｃｏｓθ＋｜b｜２

∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，

∴ｃｏｓθ＝，∴θ≈５５°