高中数学：2.4《二项分布》（一） 教案 （北师大选修2-3）

2.4二项分布教学目标：知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题.教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算.授课类型：新授课 .课时安排：1课时 .教    具：多媒体、实物投影仪 .教学过程：一、复习引入：1. 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 .5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件）称为一个基本事件.6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫等可能性事件.7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率.8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法.9.事件的和的意义:对于事件A和事件B是可以进行加法运算的.10. 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥.11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．12．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么＝ .13．相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立.14．相互独立事件同时发生的概率：一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积， .二、讲解新课：1.独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验.2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率．它是展开式的第项.3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k＝0,1,2,…，n，）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nP……由于恰好是二项展开式中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution)，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)． 三、讲解范例：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．) 解：设X为击中目标的次数，则X～B (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 ) ＝.(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为 P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 ) .例2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，P(ξ=0)=(95%)=0.9025，P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095，P()=(5%)=0.0025．  因此，次品数ξ的概率分布是ξ012P0.90250.0950.0025例3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．解：依题意，随机变量ξ～B．　　∴P(ξ=4)==，P(ξ=5)==．∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=  .例4．某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率.解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件．预报5次相当于5次独立重复试验，根据次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即 .答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验.1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率，所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为.答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法.例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次.记事件＝“射击一次，击中目标”，则．∵射击次相当于次独立重复试验，∴事件至少发生1次的概率为．由题意，令，∴，∴，∴至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次.例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次.∴从低层到顶层停不少于3次的概率设从低层到顶层停次，则其概率为，∴当或时，最大，即最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．记事件=“甲打完3局才能取胜”，记事件=“甲打完4局才能取胜”，记事件=“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜.∴甲打完3局取胜的概率为．②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负.∴甲打完4局才能取胜的概率为．③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负.∴甲打完5局才能取胜的概率为．(2)事件＝“按比赛规则甲获胜”，则，又因为事件、、彼此互斥，故．答：按比赛规则甲获胜的概率为．例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（）解：记事件＝“种一粒种子，发芽”，则，，（1）设每穴至少种粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于．∵每穴种粒相当于次独立重复试验，记事件＝“每穴至少有一粒发芽”，则．∴．由题意，令，所以，两边取常用对数得，．即，∴，且，所以取．答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384 . 四、课堂练习： 1．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（   ）      2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（    ）            3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是   （    ）                        4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（    ）            5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为       ．（设每次命中的环数都是自然数）6．一名篮球运动员投篮命中率为，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为       ．7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为     ．8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率.9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率；       ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率；   ⑷至少成活4棵的概率.10．（1）设在四次独立重复试验中，事件至少发生一次的概率为，试求在一次试验中事件发生的概率.（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为，求在第次才击中目标的概率.答案：1. C   2. D   3. A   4.  A    5. 0.784  6. 0.046  7.    8.（1）（2）9.⑴；             ⑵；  ⑶；   ⑷10.(1)   (2) 五、小结 ：1．独立重复试验要从三方面考虑.第一：每次试验是在同样条件下进行.第二：各次试验中的事件是相互独立的.第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.2．如果1次试验中某事件发生的概率是，那么次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为.对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件要么发生，要么不发生，所以在次独立重复试验中恰好发生次，则在另外的次中没有发生，即发生，由，.所以上面的公式恰为展开式中的第项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系 . 六、课后作业：七、板书设计（略） .八、课后记：   .教学反思：1. 理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。2. 能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。3. 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。