高中数学：2.5《离散型随机变量的均值》 （二） 教案 （北师大选修2-3）

2.5离散型随机变量的均值教学目标（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．教学过程一．问题情境1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数分别用表示，的概率分布如下．2．问题：    如何比较甲、乙两个工人的技术？二．学生活动1． 直接比较两个人生产件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．三．建构数学1．定义 在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式计算样本的平均值，其中为取值为的频率值．   类似地，若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：                       …                       …      其中，，则称为随机变量的均值或的数学期望，记为或．2．性质   （1）；（2）．（为常数）四．数学运用1．例题： 例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为，求的数学期望．分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取个产品，随机变量为5个球中的红球的个数，则服从超几何分布．解：由2．2节例1可知，随机变量的概率分布如表所示：X012345P 从而   答：的数学期望约为．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到．例2．从批量较大的成品中随机取出件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为，随机变量表示这件产品中不合格品数，求随机变量的数学期望．解：由于批量较大，可以认为随机变量，随机变量的概率分布如表所示：     012345678910   故    即抽件产品出现不合格品的平均件数为件．说明：例2中随机变量服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当 时，．例3．设篮球队与进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜场则比赛宣告结束，假定在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望．分析：先由题意求出分布列，然后求期望解：（1）事件“”表示，胜场或胜场（即负场或负场），且两两互斥．；（2）事件“”表示，在第5场中取胜且前场中胜3场，或在第5场中取胜且前场中胜3场（即第5场负且场中负了3场），且这两者又是互斥的，所以（3）类似地，事件“”、 “”的概率分别为，比赛场数的分布列为      4      5      6      7            故比赛的期望为（场）这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．2．练习：据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为，有大洪水的概率为．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费元；方案2：建一保护围墙，需花费元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为元；方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失元，小洪水来临损失元．试选择适当的标准，对种方案进行比较．五．回顾小结：1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．六．课外作业：离散型随机变量的均值与方差教学目标（1）进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平；（2）会求均值与方差，并能解决有关应用题．教学重点，难点：会求均值与方差，并能解决有关应用题．教学过程一．问题情境 复习回顾：1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式．2．练习设随机变量，且，则       ，       ；答案：二．数学运用1．例题：例1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为．（1）求随机变量的概率分布；（2）求的数学期望和方差．解：（1），因此的分布列为01234   （2），例2．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为（单位：），其分布列如下： 比较两种品牌手表的质量． 分析：期望与方差结合能解决实际应用中质量好坏、产品质量高低等问题．特别是期望相等时，可在看方差．本题只要分别求出两种品牌手表日走时误差的期望和方差，然后通过数值的大小进行比较．解：，所以 ，所以由期望值难以判断质量的好坏．又因为    所以，可见乙的波动性大，甲的稳定性强，故甲的质量高于乙．例3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（Ⅰ）求的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件的概率.分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需即可．解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件． 由已知相互独立，.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3．13 所以的分布列为 （Ⅱ）解法一：因为所以函数上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而解法二：的可能取值为1，3.当时，函数上单调递增，当时，函数上不单调递增.所以 例4．有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．解：设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：所以 因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家．五．回顾小结：1． 已知随机变量的分布列，求它的期望、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；2． 如能分析所给随机变量，是服从常见的分布（如两点分布、二项分布、超几何分布等），可直接用它们的期望、方差公式计算；3． 对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差和标准差．六．课外作业：