江西省九江市实验中学高二数学 第一章 第十六课时《计数原理》小结与复习（二）教案 北师大版选修2-3

江西省九江市实验中学高中数学 第一章 第十六课时《计数原理》小结与复习（二）教案 北师大版选修2-3

一、教学目标：1、正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项公式,灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题。2、会利用二项式定理解决某些整除性问题

二、教学重难点：二项式定理及其运用，二项式系数的性质运用

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、知识点

1、二项式定理及其特例：（1），

（2）.

2、二项展开式的通项公式： 。

3、求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

4、二项式系数表（杨辉三角）

展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

5、二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）。直线是图象的对称轴。（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值。

（3）各二项式系数和：∵，

令，则

（二）、例题探析：

例1．①计算:

 ②计算:

分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.

解： ① ＝   

② ＝＝

例3、求证能被64整除.

分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有的式子.因此,可将化成再进行展开,化简即可证得.

证明：∵＝

＝＝

∴多项式展开后的各项含有∴能被64整除。

引伸:①求证能被10整除;②求除以9的余数。

例4、求的展开式中的系数。

解:利用通项公式,则的通项公式,

 的通项公式,令,则或或     从而的系数为

引伸:求的展开式中的系数.  ( 答案:207 )

例5、求的展开式中的常数项和有理项。

解:设展开式中的常数项为第项,则  (*)由题意得,解得,所以展开式中的常数项为第7项.由题意可得,即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12故展开式中的有理项为,,。

（三）、课堂练习：

1、由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数。（1）求有3个偶数相邻的7位数的个数；（2）求3个偶数互不相邻的7位数的个数。

2、从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有1位女同志，分别到4个不同的工厂调查，不同的分派方法有（  ）A.100种      B.400种      C.480种      D.2400种

3、已知碳元素有3种同位素12C、13C、14C，氧元素也有3种同位素16O、17O、18O，则不同的原子构成的CO2分子有（   ）A.81种        B.54种          C.27种         D.9种

（四）、课堂小结：1、二项式定理的应用:证明整除问题。2、通项公式的应用:①通项公式是第项,而不是第项;②运用通项公式可以求出展开式中任意指定的项或具有某种条件的项。

（五）、课后作业：课本P30页复习题（一）A组中7、8    B组中4、5