江西省九江市实验中学高二数学 第一章 第十三课时《二项式系数的性质》（一）教案 北师大版选修2-3

江西省九江市实验中学高中数学 第一章 第十三课时 二项式系数的性质（一）教案 北师大版选修2-3

一、教学目标：

1、知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

2、过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观：要启发学生认真分析课本图提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

二、教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

三、教学方法：探析归纳，讨论交流

四、教学过程

（一）、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1），

（2）.

2．二项展开式的通项公式：

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

（二）、探解新课

1、二项式系数表（杨辉三角）

展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。

2、二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数

定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．

直线是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值．∵，

∴相对于的增减情况由决定，，

当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵，

令，则

（三）、探析范例

例1、在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式中，令，则，

即，

∴，

即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质（3）及例1知.

例2、已知，求：

（1）；   （2）；  （3）.

解：（1）当时，，展开式右边为

∴，

当时，，∴，

（2）令，       ① 

令，     ②

①② 得：，∴ .

（3）由展开式知：均为负，均为正，

∴由（2）中①+② 得：，

∴ ，

∴

例4、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数

解：∵

∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，

在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 

∴展开式中含x的项为 ，

∴此展开式中x的系数为240

例5、已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项

解：依题意

   ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10

设第r+1项为常数项，又

令，

此所求常数项为180

（四）课堂小结：本课学习了二项式系数的性质，二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个揭破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用。

（五）、课堂练习：课本第27页练习

（六）、课后作业：课本第28页习题1-5中B组1、2；练习册P30页4、5、8