2012-2013高二北师大数学选修2-2：第一课时 3.1.1函数的单调性导学案教案

第三章 导数的应用第一课时  3.1.1函数的单调性 学习目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法学习重点：利用导数判断函数单调性学习难点：利用导数判断函数单调性内容分析：     以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 学习过程：一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式：； ； ； ； ； ；   2.法则1  　．法则2    , 法则3    二、学习新课：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：     我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到： y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0       在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.三、范例：例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.     例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.    例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.            例4已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x  (2)y=x－x3              2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.       3.求下列函数的单调区间(1)y=  (2)y= (3)y=+x         五、小结 ： f(x)在某区间内可导，可以根据＞0或＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数  第一课时  3.1.1函数的单调性答案三、讲解范例：例1解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 例2解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 例3证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) ∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证)∵=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0.  ∴，∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4解：y′=(x+)′=1－1·x－2=令＞0.  解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)         四、课堂练习：1.(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－)=－3(x+)(x－)令－3(x+)(x－)＞0，解得－＜x＜.∴y=x－x3的单调增区间是(－，).令－3(x+)(x－)＜0，解得x＞或x＜－.∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－)和(，+∞)2．解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b, 令2ax+b＞0，解得x＞－∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－，+∞)令2ax+b＜0，解得x＜－.∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－)3．(1)解：y′=()′=∵当x≠0时，－＜0，∴y′＜0.∴y=的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞)(2)解：y′=()′当x≠±3时，－＜0，∴y′＜0.∴y=的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).(3)解：y′=(+x)′.当x＞0时+1＞0，∴y′＞0. ∴y=+x的单调增区间是(0，+∞)