高中数学：2.9《导数的实际应用3》教案（北师大版选修2-2）

第九课时   导数的实际应用（三）

一、教学目标：

1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；

2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

（二）、新课探究

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

（三）、典例分析

例1、磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．

（1）是不是越小，磁盘的存储量越大？（2）为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

   设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

×

  （1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．

（2）为求的最大值，计算．

令，解得当时，；当时，．

因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

例2、汽油的使用效率何时最高

我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？

分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题．

   通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系．

从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．

   解：因为   

这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90．

因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为      L．

例3、在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？

变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

解：收入，

利润

令，即，求得唯一的极值点

答：产量为84时，利润L最大

（四）、课堂练习：在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解析根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则∵BD=40,AC=50－x,   ∴BC=

又设总的水管费用为y元，依题意有y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50)

y′=－3a+,令y′=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，

函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省

（五）．回顾总结：1．利用导数解决优化问题的基本思路：

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。

（六）．布置作业：1、一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？

【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有y ＝×30＋×40，y′＝－＋20，

令y′＝0，得x ＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，故  当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10（次）．

即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

2、有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？

【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，

则CD ＝．y ＝500（50－x）＋700＝25000－500 x ＋700，

y′＝－500＋700 · (x 2＋1600)· 2 x＝－500＋，令y′＝0，解得x ＝．答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．

【点评】当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．

五、教后反思：